Jeżeli wielokąt jest zawarty w wielokącie to
Twierdzenie Gaussa Carl Friedrich Gauss udowodnił w 1832 roku, że: W geometrii hiperbolicznej pole trójkąta jest proporcjonalne do jego defektu.
Schemat dowodu twierdzenia Gaussa Schemat został zamieszczony w książce H.S.M. Coxetera. 1. Wszystkie trójkąty potrójnie asymptotyczne są przystające. 2. Pole trójkąta potrójnie asymptotycznego ma wartość skończoną 3. Pole podwójnie asymptotycznego trójkąta AMN jest funkcją jego jedynego kąta niezerowego NAM. Jeśli jest kątem przyległym do kąta NAM, to pole tego trójkąta jest równe Gauss użył kąta przyległego, aby funkcja ta była rosnąca. 4.
Po zsunięciu dwóch trójkątów podwójnie asymptotycznych LAN i MAN o kątach i tak aby oba te kąty były przyległe otrzymujemy trójkąt potrójnie asymptotyczny. Stąd równość 4.
Gdy dąży do zera jeden z tych trójkątów zanika, a gdy dąży do przyjmuje kształt trójkąta potrójnie asymptotycznego. Dlatego
5. Jeśli to po zsunięciu trzech trójkątów podwójnie asymptotycznych o kątach otrzymujemy trójkąt potrójnie asymptotyczny. Stąd równość 5.
Z równości 5. wynika 6.
Z 6. wynika, że istnieje taka stała że:
gdzie stała jest równa thumb|350px|Uzupełnienie skończonego trójkąta ABC do trójkąta potrójnie asymptotycznego