Macierz przejścia (automatyka) — część 2

rozwiązanie swobodne).

Wyprowadzenie wzoru dla układu jednowymiarowego Wzór na stan układu jednowymiarowego, opisanego równaniami stanu:

gdzie to zadane sterowanie.

Wyznacza się go w dwóch krokach: Obliczane jest rozwiązanie bez części sterującej

Przekształca się powyższy wzór tak, aby po jednej stronie znalazło się oraz a po drugiej stronie

Uzyskany wzór całkuje się obustronnie uzyskując: gdzie to stała całkowania. Na koniec następuje pozbycie się logarytmu naturalnego używając eksponenty dla obydwu stron równania:

Uzyskany podstawia się do równań podanych na wstępie i oblicza pochodną po czasie.

Przenosi się na prawą stronę i całkuje obustronnie:

Na koniec wstawia się uzyskane do wzoru

Macierz przejścia Macierz przejścia określona jest jako:

gdzie jest podstawową macierzą rozwiązania, która spełnia zależność:

jest macierzą o wymiarach która stanowi liniowe mapowanie na siebie samą, na przykład z przy danym stanie w dowolnej chwili czasu stan w dowolnej innej chwili określony jest przez mapowanie:

Podczas gdy macierz przejścia stanu nie jest całkowicie nieznana, to zawsze musi spełniać następujący związek: i

dla każdego i gdzie jest macierzą jednostkową.

Ponadto musi posiadać następujące właściwości: {| class="wikitable" |- ! width=20px| 1. | width=250px| |- ! 2.

! 3.

!