Gdy elementy są ciągami (skończonymi lub nie) to sprowadza się to do dodawania wyrazów ciągów:
i do mnożenia ich przez skalar:
Wewnętrzna suma prosta Definicja Niech będzie przestrzenią liniową. Jeżeli są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni takimi, że każdy wektor można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy
gdzie to mówimy, że jest (wewnętrzną) sumą prostą podprzestrzeni liniowych i piszemy:
Uwagi (1) Podział danej przestrzeni na sumy proste pozwala klasyfikować jej elementy – jeżeli dany wektor należy do podprzestrzeni to wyraża się całkowicie za pomocą wektorów bazy tej podprzestrzeni.
(2) Podział przestrzeni na podprzestrzenie tworzące sumę prostą przestrzeni nie jest unikalny – istnieje zazwyczaj wiele możliwych podziałów przestrzeni liniowej na sumy proste.
Izomorfizm zewnętrznej i wewnętrznej sumy prostej Załóżmy, że przestrzeń liniowa nad ciałem jest przedstawiona w postaci wewnętrznej sumy prostej
Utwórzmy zewnętrzną sumę prostą podprzestrzeni
i są izomorficzne. Oznacza to, że zewnętrzna i wewnętrzna suma prosta są w istocie tym samym i pozwala mówić po prostu o sumie prostej.
Dowód.