Asyryjska lista królów Puzur-Aszur I wzmiankowany jest w Asyryjskiej liście królów, która wymienia go jako 30 władcę Asyrii. Występuje on tam jako czwarty z tzw. „sześciu królów [których imiona zostały zapisane na] cegłach, (ale) których limmu nie zostali spisani/znalezieni”. Jako jego poprzednik wymieniany jest Akia, a jako jego następca Szalim-ahum.
Dynastia Puzur-Aszur I był najprawdopodobniej założycielem nowej dynastii władców rządzących miastem-państwem Aszur. Założenie takie wynika stąd, iż zarówno jego syn Szalim-ahum, jak i jego wnuk Ilu-szuma i prawnuk Eriszum I w swych własnych inskrypcjach wymieniają właśnie Puzur-Aszura I jako pierwszego znanego członka dynastii. Zgodnie z Asyryjską listą królów poprzednikiem Puzur-Aszura I na tronie asyryjskim miał być Akia, ale nie wiadomo czy należeli oni do tej samej dynastii.