Dla każdej liczby zespolonej o części rzeczywistej zachodzi równość
Można ją wywnioskować z iloczynu Eulera funkcji zeta,
zbieżnego na tej półpłaszczyźnie.
Ponadto
Szeregi Funkcja występuje w następujących szeregach zbieżnych:
co jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych, gdzie to logarytm naturalny, gdzie jest stałą Eulera-Masheroniego.
Szeregiem Lamberta funkcji Möbiusa jest szereg
który jest zbieżny dla Dodatkowo, dla dowolnej liczby pierwszej zachodzi
również dla
Związek z funkcjami trygonometrycznymi Spójrzmy na ciąg ułamków
Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:
Utwórzmy sumę:
Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie
Funkcja Mertensa
W teorii liczb inną funkcją zdefiniowaną przy pomocy funkcji Möbiusa, mającą duże znaczenie jest funkcja Mertensa
Zależność jest równoważna z twierdzeniem o liczbach pierwszych, a – z hipotezą Riemanna.
Przypisy
Linki zewnętrzne
Kategoria:Funkcje arytmetyczne Kategoria:Teoria liczb Kategoria:Teoria podzielności