Powstała kolejna aksjomatyka, a mianowicie aksjomatyka Hilberta.

Z powodów praktycznych aksjomatów powinno być na tyle dużo, aby prawdziwość wszelkich „ważnych” twierdzeń danej teorii dało się rozstrzygnąć na ich podstawie. Kryterium ważności jest tu subiektywne – teoria, w której żadne zdanie nie daje się rozstrzygnąć, jest formalnie poprawna, lecz bezużyteczna. Nie musi to oznaczać rozstrzygalności wszystkich możliwych twierdzeń danej teorii, choć byłby to stan idealny; twierdzenie Gödla mówi jednak, że nawet dla tak prostej teorii jak arytmetyka istnieją twierdzenia, których nie da się wyprowadzić z jej aksjomatów. Co więcej, nie da się uzupełnić zbioru aksjomatów arytmetyki skończoną liczbą nowych aksjomatów, tak aby był już do tego wystarczający.

Kategoryczność Aksjomatykę nazywamy kategoryczną, jeśli wszystkie jej modele są izomorficzne. Oznacza to, że dany zestaw aksjomatów jednoznacznie określa wszystkie cechy definiowanych obiektów. Jeśli aksjomatyka nie jest kategoryczna, można zbudować dwa różne modele, które będą ją spełniały, jednak będą się różnić właściwościami, dającymi się opisać w języku