w ZFC można udowodnić więcej twierdzeń niż na gruncie teorii ZF+BPI), wystarcza on do udowodnienia dużej części twierdzeń z algebry, topologii czy analizy funkcjonalnej.
Na gruncie ZF+BPI można na przykład udowodnić: twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a twierdzenie Tichonowa dla zwartych przestrzeni Hausdorffa (równoważne z BPI w klasie zwartych przestrzeni Hausdorffa) aksjomat wyboru dla rodzin zbiorów skończonych twierdzenie Arzeli-Ascolego (równoważne z BPI) twierdzenie Hahna-Banacha, a to pociąga istnienie niemierzalnego w sensie Lebesgue’a podzbioru prostej paradoks Banacha-Tarskiego twierdzenie o zwartości dla klasycznego rachunku zdań (równoważne z BPI)
istnienie ultrafiltru w kracie wszystkich zbiorów otwartych niepustej przestrzeni topologicznej (równoważne z BPI).
Zakładając na gruncie ZF, BPI + twierdzenie Krejna-Milmana można udowodnić AC, to znaczy aksjomat wyboru jest równoważny „BPI + twierdzenie Krejna-Milmana”.
Przypisy
Bibliografia Paul Howard, Jean E. Rubin: Consequences of the axiom of choice. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998.
Kategoria:Twierdzenia o kratach Kategoria:Aksjomaty teorii mnogości