Każda z miar skalarnych jest bezwzględnie ciągła względem więc w przypadku każdej z nich stosuje się twierdzenie Radona-Nikodýma, tj. istnieją funkcje całkowalne
o tej własności, że
Funkcja
przyjmuje wartości w ℓ1 dla prawie wszystkich oraz jest pochodną Radona-Nikodýma
Charakteryzacja przez funkcje lipschitzowskie Niech będzie przestrzenią Banacha. Wówczas ma ona własność Radona-Nikodýma wtedy i tylko wtedy, gdy każda funkcja lipschitzowska
jest różniczkowalna prawie wszędzie.
nie ma własności Radona-Nikodýma Używając powyższej charakteryzacji można wykazać, że przestrzeń nie ma własności Radona-Nikodýma. Istotnie, funkcja
dana wzorem
spełnia warunek Lipschitza, ponieważ jest izometrią. Dla
wyrażenie
ma normę 1, a więc nie jest zbieżne do 0 przy żadnym ustalonym oraz .
Twierdzenie Lindenstraussa Joram Lindenstrauss udowodnił, że każdy niepusty, domknięty i wypukły podzbiór przestrzeni mającej własność Radona-Nikodýma ma punkt ekstremalny.