Jest to relacja równoważności w rodzinie atlasów powierzchni Rodzinę klas abstrakcji tej relacji nazywamy strukturą zespoloną powierzchni Powierzchnią Riemanna nazywamy spójną powierzchnię wyposażoną w strukturę zespoloną.
Definicje Istnieje kilka równoważnych definicji powierzchni Riemanna.
Powierzchnia Riemanna to rozmaitość zespolona wymiaru zespolonego 1. Oznacza to, że jest hausdorffowską przestrzenią topologiczną wraz z atlasem (zbiorem map pokrywających rozmaitość topologiczną): dla każdego punktu istnieje otoczenie zawierające homeomorficzne z kołem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej. Przekształcenie odwzorowujące strukturę płaszczyzny zespolonej na powierzchnię Riemanna jest nazywane mapą. Dodatkowo homeomorfizmy między dwoma nakładającymi się mapami (tzn. mającymi niepuste przecięcie obrazów) mają być holomorficzne.