Opublikowanie semantycznej wersji rachunku w roku 1920 zapoczątkowało badania logik wielowartościowych.
Charakterystyka prawdziwościowa funktorów klasycznych Ogólny przepis wartościowań dla L3, ograniczony do funktorów klasycznych, dany jest definicją:
Wartościowaniem chryzypowym w L3 nazywamy każdą funkcję ze zbioru wszystkich formuł języka L3 w zbiór wartości logicznych taką, że dla dowolnych formuł zachodzą równości:
Przykładem jest poniższa tabelka, która ilustruje sposób wartościowania dla negacji w L3. 1 0 ½ ½ 0 1
Charakterystyka funktorów modalnych Język użyty do opisu struktur L3 jest zwyczajnym językiem zdaniowym rozszerzonym o dwie stałe logiczne (jednoargumentowe funktory): symbol oznaczający możliwość (odpowiednik zwrotu możliwe, że...), symbol oznaczający konieczność (odpowiednik zwrotu konieczne, że...).
Wartościowanie L3 opiszemy definicją:
Wartościowaniem w L3 nazywamy każdą funkcję ze zbioru wszystkich formuł języka L3 w zbiór wartości logicznych taką, że dla dowolnej formuły zachodzą równości opisane dla funktorów klasycznych oraz ponadto zachodzą równości opisane dla funktorów modalnych:
Poniższa tabelka ilustruje powyższe własności na prostym przykładzie. 1 1 1 ½ 1 0 0 0 0