gdzie jest pewnym ustalonym operatorem hermitowskim. Stąd pochodne wektorów dualnych wyrażają się wzorami:
(3) Wstawiając otrzymane pochodne do pierwszego wzoru, otrzyma się:
Porównując powyższy wzór z postulowaną postacią pochodnej elementu macierzowego, otrzymuje się:
Ponieważ wszystkie elementy macierzowe powyższego operatora zerują się, więc całkowity operator zeruje się. Stąd mamy:
Równanie powyższe opisuje zależność obserwabli od czasu. Ustalając konkretną postać operatora otrzymuje się różne obrazy mechaniki kwantowej.
Obraz Schrödingera W obrazie Schrödingera przyjmuje się Wynika stąd, że:
(a) stany kwantowe są rozwiązaniami równania Schrödingera (bo operator jest pełnym operatorem Hamiltona)
(b) obserwable są zależne od czasu wg równania:
Dana obserwabla nie zależy więc od czasu, jeżeli nie zależy jawnie od czasu.
(c) Wartość średnia obserwabli może zmieniać się w czasie, ponieważ wektory stanu zależą tu od czasu:
Jeżeli jednak obserwabla nie zależy jawnie od czasu i komutuje z operatorem Hamiltona, to jej wartość średnia jest stała w czasie.
Obraz Heisenberga W obrazie Heisenberga przyjmuje się Wynika stąd, że:
(a) stany kwantowe nie zależą od czasu, gdyż są opisywane przez równanie:
(b) obserwable ewoluują w czasie zgodnie z równaniem: