Oznacza to, że zbiory i nie są równoliczne:
Jednocześnie zbiór nie może mieć mocy większej od swojego zbioru potęgowego gdyż jest równoliczny z podzbiorem właściwym zbioru Istnieje bowiem iniekcja z w przypisująca każdemu elementowi jego singleton:
Zatem moc zbioru jest mniejsza niż jego zbioru potęgowego:
Powyższy dowód z uwagi na użyte wyrażenie jest rozumowaniem przekątniowym.
Historia Cantor podał podobny dowód w pracy Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (“O elementarnym pytaniu w teorii rozmaitości”, półautomatyczne tłumaczenie z niemieckiego na angielski). (1890/91) (gdzie zastosował metodę przekątniową, również dla dowodu nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, którą wcześniej wykazywał innymi metodami).
Dowód ów Cantor sformułował w terminach funkcji charakterystycznych zbioru, nie podzbiorów zbioru, jak się go formułuje obecnie. Wykazał mianowicie, że jeśli jest funkcją na zbiorze której wartościami są funkcje charakterystyczne podzbiorów zbioru to funkcja charakterystyczna nie należy do zbioru wartości