Grupa rozwiązalna – grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).
Nazwa pojęcia ma swoje źródło w teorii Galois, skąd pochodzi – pierwiastki wielomianu o współczynnikach z pewnego ciała można wyrazić za pomocą pierwiastników (elementów ciała połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania dowolnego stopnia naturalnego), gdy tzw. grupa Galois ciała rozkładu danego wielomianu jest rozwiązalna. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że grupy Galois ciała rozkładu wielomianów stopnia większego od 4 nie muszą być rozwiązalne, tzn. wśród wielomianów rzeczywistych dowolnego stopnia większego niż 4 istnieją wielomiany, których pierwiastki nie dają się przedstawić za pomocą pierwiastników. Przykładem może być następujący wielomian piątego stopnia:
Definicja Grupa jest rozwiązalna, gdy istnieje ciąg podgrup
takich, że dla każdego są spełnione warunki: jest podgrupą normalną grupa ilorazowa jest abelowa.
Warunki równoważne Czasami jako definicję podaje się również następujący, równoważny warunek: Grupa jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej liczby
gdzie oznacza -tą pochodną grupy Najmniejszą taką liczbę nazywa się stopniem rozwiązalności grupy