Rozważmy podmoduł
modułu to jest podmoduł wszystkich wielomianów podzielnych przez Okazuje się, że relacją równoważności określoną przez ten moduł jest wtedy i tylko wtedy, gdy oraz dają tę samą resztę z dzielenia przez
Dlatego w module ilorazowym wielomian będzie tym samym co i stąd może być on postrzegany jako otrzymany z przez utożsamienie Moduł ilorazowy jest izomorficzny z liczbami zespolonymi postrzeganymi jako moduł nad liczbami rzeczywistymi
Własności
Moduł ilorazowy jest obrazem homomorficznym modułu przez homomorfizm o jądrze dany wzorem
Odwzorowanie jest nazywane projekcją modułu na moduł ilorazowy . Twierdzenie o izomorfizmie: dla dwóch podmodułów modułu prawdziwe jest
dla podmodułu zachodzi
Istnieje kanoniczna odpowiedniość pomiędzy klasą izomorfizmów monomorfizmów w a klasą izomorfizmów epimorfizmów z monomorfizm odpowiada modułowi ilorazowemu a epimorfizm odpowiada podmodułowi Jeżeli moduł jest skończenie generowany lub ma skończoną długość, to taki jest też jego dowolny moduł ilorazowy. Jeżeli jest -algebrą (łączną, z jedynką), to
gdzie jest obrazem w Jeżeli jest (obustronnym) ideałem w to moduł ilorazowy jest tym samym co pierścień ilorazowy
Kategoria:Teoria modułów