Definicja Niech będzie niepustym, otwartym podzbiorem w -wymiarowej przestrzeni współrzędnych rzeczywistych oraz - funkcja dwukrotnie różniczkowalna w punkcie choć niekoniecznie mająca ciągłe drugie pochodne; - punkt w .
Macierzą Hessego funkcji w punkcie nazywamy macierz
gdzie - pochodne cząstkowe drugiego rzędu obliczone w punkcie
Uwaga: Oznaczenia
Punkt w przestrzeni -wymiarowej oznaczamy wytłuszczonym symbolem , zaś współrzędne tego punktu oznaczamy zwykłą czcionką . Macierz Hessego oznacza się też symbolami , , lub . W przypadku funkcji dwóch zmiennych pochodne cząstkowe oznacza się też symbolami - pochodne cząstkowe 1-go rzędu, - pochodne cząstkowe 2-go rzędu. Analogicznie dla funkcji 3 zmiennych .
Właściwości 1. Symetria macierzy Hessego Jeśli funkcja ma ciągłe drugie pochodne w punkcie , to macierz Hessego obliczona w tym punkcie jest symetryczna, tzn.
Innymi słowy: Macierz Hessego jest symetryczna w punkcie jeżeli funkcja jest klasy w tym punkcie.
2. Określoność macierzy Hessego a rodzaj punktu krytycznego Punkt krytyczny to punkt '', w którym gradient jest równy zeru,
co jest równoważne warunkowi zerowania się wszystkich pochodnych cząstkowych w tym punkcie
W punktach krytycznych funkcja może mieć ekstremum, punkt przegięcia, punkt siodłowy.