Dowodzi się dalej, że jest ono izomorficzne albo z ciałem liczb wymiernych, albo z ciałem p-elementowym, czyli takim, którego liczba elementów jest liczbą pierwszą. W pierwszym przypadku przyjmuje się, że charakterystyka danego ciała wynosi 0, w drugim – przypisuje się wartość rzeczonej liczby pierwszej.
W przypadku ciała o zerowej charakterystyce każdy element algebraiczny nad jest zarazem względem rozdzielczy. Jeżeli bowiem to dla każdego niezerowego wielomianu stopnia jego wartość nie będzie równa musi więc być pierwiastkiem wielomianu o stopniu wyższym niż stopnia przynajmniej pierwszego. Korzystając zaś z wzoru na pochodną wielomianu dla kolejnych jednomianów , wielomiany takie nie będą miały zerowej pochodnej.
Sytuacja komplikuje się w przypadku ciał o niezerowej charakterystyce. Otóż w pierścieniu wielomianów tego ciała znaleźć można wielomiany stopnia niezerowego, których pochodna znika. Dzieje się tak mianowicie wtedy, kiedy dany wielomian gdzie jest charakterystyką rozpatrywanego ciała.