Godunow bardzo szybko stała się solistą Teatru Bolszoj z pensją 550 rubli, został wybrany przez primabalerinę Maję Plisiecką na swojego partnera i doceniony przez krytykę za występ w klasycznych utworach, takich jak Jezioro łabędzie, Spartakus, Święto wiosny, Romeo i Julia jako krewny Capuletich – Tybalt, Iwan Groźny czy Giselle. W 1973 zdobył złoty medal w prestiżowym na Międzynarodowym Konkursie w Moskwie.

Kiedy 19 sierpnia 1979 odbył tournée po Stanach Zjednoczonych z Romeo i Julią Teatru Bolszoj w Metropolitan Opera, Aleksandr Godunow odłączył się od grupy, skontaktował się z władzami w Nowym Jorku i poprosił władze amerykańskie o azyl. KGB natychmiast odkryło jego zniknięcie; spór o niego trwał przez trzy dni, w sprawę zaangażował się też prezydent Jimmy Carter, po stronie amerykańskiej, i sekretarz generalny KPZR Leonid Breżniew, po stronie radzieckiej. W kwietniu 1981 romansował z Bárbarą Carrerą. W 1982 po ośmiu latach małżeństwa rozwiódł się.