o ile granica ta istnieje. Jeżeli istnieje ona dla wszystkich to mówi się, że jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie
Granicę w definicji wzięto w sensie topologii Jeżeli i są rzeczywistymi przestrzeniami liniowo-topologicznymi, to w granicy są wartościami rzeczywistymi. Z drugiej strony, jeżeli przestrzenie te są zespolone, to w powyższej granicy przyjmuje się na płaszczyźnie zespolonej, jak ma to miejsce w definicji różniczki zespolonej. W pewnych przypadkach zamiast mocnej granicy bierze się w zamian słabą granicę, co prowadzi do pojęcia słabej pochodnej Gâteaux.
Liniowość i ciągłość W każdym punkcie różniczka Gâteaux definiuje funkcję
Jest ona jednorodna w tym sensie, iż dla wszystkich skalarów zachodzi równość
Funkcja ta nie musi być jednak addytywna, tak więc w przeciwieństwie do różniczki Frécheta różniczka Gâteaux może nie być liniowa. Nawet jeżeli będzie ona liniowa, to może nie zależeć w sposób ciągły od co może mieć miejsce, gdy oraz są nieskończeniewymiarowe.