dla na tyle małych, że ) wzorem
Widzimy, że przyrost da się przedstawić w postaci
Ponadto reszta ma własność
Wynika z tego, że dane wzorem jest różniczką funkcji w punkcie
Na odwrót: załóżmy, że funkcja ma w punkcie różniczkę daną wzorem
Wówczas
Czyli funkcja jest różniczkowalna w punkcie Ponadto i różniczka jest dana wzorem
Postać kanoniczna różniczki W szczególności można badać różniczkę funkcji identycznościowej na tzn. funkcji danej wzorem
Funkcja jest różniczkowalna na całym i jak wynika z treści poprzedniego podrozdziału jej różniczka jest dana wzorem
dla każdego
Z tego, a także z treści poprzedniego podrozdziału wynika, że różniczkę dowolnej funkcji różniczkowalnej w punkcie można w tym punkcie zapisać w postaci
którą nazywamy postacią kanoniczną.
Oznaczając przez a przez można powyższemu wzorowi nadać klasyczną postać
Przybliżanie przyrostu funkcji za pomocą różniczki Z definicji i z twierdzenia o związku pomiędzy różniczką i pochodną wynika, że różniczkę można wykorzystać do przybliżania przyrostu funkcji
dla dowolnego na tyle małego, że Przybliżenie to jest tym lepsze im mniejsze jest co do wartości bezwzględnej.
Przykład zastosowania różniczek JeśliPrzykład opracowany według podanego w: .:
to błąd jest w przybliżeniu równy różniczce funkcji w punkcie odpowiadającego przyrostowi