Matka Jonesa dawała lekcje gry na pianinie, a ojciec pracował jako inżynier lotniczy w fabryce Dowty Rotol; podobnie jak żona interesował się muzyką, grał na pianinie i na organach oraz prowadził chór w pobliskim kościele. Pamela, siostra Briana, zmarła w wieku dwóch lat na białaczkę. Druga siostra, Barbara, urodziła się w 1946. W 1948 Jones zachorował na krup, co z kolei spowodowało astmę, na którą chorował już do śmierci.

W 1948 matka zaczęła uczyć Jonesa gry na pianinie, nauka trwała do 14. roku życia. Również w 1948 rozpoczął naukę szkolną, we wrześniu 1949 przeszedł do płatnej, renomowanej szkoły Dean Close Junior w Chelteham. Miał dobre wyniki w nauce muzyki i angielskiego. W czerwcu 1953 zdał wstępne egzaminy i we wrześniu zaczął uczęszczać do szkoły średniej w Cheltenham. W 1956 został pierwszym klarnecistą w szkolnej orkiestrze. W wieku 15 lat zdał siedem egzaminów i przeszedł od razu do szóstej klasy. Jeszcze w szóstej klasie zdał dwa zaległe egzaminy, a potem dwa wyższe z fizyki i z chemii.