W latach 1870-1871 Kinnaird pomógł zorganizować dwa nieoficjalne mecze reprezentacji Szkocji z reprezentacją Anglii. Sam wystąpił w jednym oficjalnym meczu reprezentacji - 8 marca 1873 r. przeciwko Anglii na Kennington Oval w Londynie. Mecz zakończył się wygraną Anglików 4:2. Był to drugi oficjalny mecz międzynarodowy w dziejach szkockiej reprezentacji.
Już w 1869 r., w wieku 22 lat, wszedł w skład zarządu FA. W 1877 r. został skarbnikiem Związku, a w 1890 r. jego prezesem, zastępując na tym stanowisku Francisa Marindina. Pozostawał na tym stanowisku przez 33 lata, aż do swojej śmierci w 1923 r., która nastąpiła kilka miesięcy przed otwarciem stadionu Wembley. Był kawalerem Orderu Ostu.
19 sierpnia 1875 r. poślubił Mary Almę Victorię Agnew (2 września 1854 - 19 stycznia 1923), córkę sir Andrew Agnewa of Lochnaw, 8. baroneta, i lady Mary Noel, córki 1. hrabiego Gainsborough. Arthur i Mary mieli razem pięciu synów i dwie córki: Catherine Mary Kinnaird (13 czerwca 1876 - 28 kwietnia 1886) kapitan Douglas Arthur Kinnaird (20 sierpnia 1879 - 24 października 1914, zginął podczas I wojny światowej Kenneth Fitzgerald Kinnaird (31 lipca 1880 - 1972), 12.