1 Dla stopnia pierwiastkiem pierwotnym z jedynki jest na pewno pierwiastek postaci
lub równoważnie, w zapisie wykładniczym
Dowód: Ze wzoru de Moivre'a mamy dla
zaś dla mamy
co dowodzi, że jest najniższym stopniem, dla którego . Oznacza to, że jest pierwotnym pierwiastkiem z jedynki stopnia .
Tw. 2 Pierwiastek stopnia z jedynki o indeksie jest pierwotny, jeżeli liczba jest względnie pierwsza względem stopnia pierwiastka.
Z Tw. 2 wynika stąd, że pierwiastkami prymitywnymi z jedynki są 1. stopnia: 2. stopnia: 3. stopnia:
4. stopnia: 5. stopnia: 6. stopnia: 7. stopnia: 8. stopnia: 9. stopnia: 10. stopnia: .... Obliczając liczby pierwiastków dla poszczególnych stopni otrzymamy:
- zgodnie z funkcją Eulera, co wyraża poniższe twierdzenie.
Tw. 3 Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia z jedynki jest równa gdzie jest funkcją Eulera.
Tw. 4 Pierwiastek pierwotny stopnia n z jedynki spełnia równanie algebraiczne stopnia n-1 postaci:
Dowód:
Z twierdzenia o sumowaniu się wszystkich pierwiastków stopnia n mamy
Dokonując przekształceń i podstawiając do równania postać wykładniczą pierwiastka pierwotnego otrzymamy