Pierwszy raz gracze B36 Tórshavn zostali mistrzami ligi w sezonie 1946 po wygranym finale przeciwko VB Vágur 3:1, wcześniej zwyciężywszy w grupie wschodniej. Tytuł mistrzowski klub zdobywał także w sezonach 1948 i 1950, zajmując pierwsze miejsca w tabeli ligowej. Później B36 triumfował rzadziej i do dziś zgromadził dziesięć trofeów, ostatnie podczas Effodeildin 2015.
Klub rozgrywa także mecze o Puchar Wysp Owczych od początku jego istnienia w 1955 roku. Pierwszy raz triumfował w 1965 roku, kiedy w finale pokonał HB Tórshavn 3:2. Kolejne cztery zdobywali w latach: 1991, 2001, 2003 i 2006.
Zdobywając wysokie miejsca w farerskiej lidze, piłkarze B36 Tórshavn biorą regularnie udział w imprezach międzynarodowych, jednak ich największymi sukcesami są wyjścia z pierwszej fazy kwalifikacyjnej Pucharu UEFA 2005/06 oraz Ligi Mistrzów UEFA 2006/07. Najwyższym zwycięstwem z zagranicznym klubem było pokonanie maltańskiego zespołu Birkirkara FC 3:0 w 2006 roku. W 2015 roku B36 rozgrywało mecze eliminacji Ligi Mistrzów. Na Tórsvøllur mistrzowie kraju przegrali z walijskim The New Saints 1-2 (gola dla Tórshavn strzelił Samuelsen).