Udowodnione po Czebyszewie twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych natychmiast daje podobny wynik dla wszelkich proporcji ustalonych powyżej 1.

Wariacja Erdősa Paul Erdős wzmocnił twierdzenie Czebyszewa dowodząc Twierdzenie Dla dowolnej liczby naturalnej między liczbami a znajdują się co najmniej dwie liczby pierwsze – co najmniej jedna postaci oraz co najmniej jedna postaci

Twierdzenie Dirichleta Poniższe twierdzenie zostało udowodnione przez Dirichleta Twierdzenie W dowolnym ciągu arytmetycznym liczb naturalnych: takim, że i są względnie pierwsze, występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. (Przy ustalonym ilość liczb pierwszych dla różnych a, względnie pierwszych z liczbą jest w pewnym asymptotycznym sensie taka sama).

Przypadki szczególne Ciąg arytmetyczny liczb naturalnych Niech będzie niepustym zbiorem skończonym liczb naszego ciągu. Niech będzie ich iloczynem. Wtedy nie może mieć wyłącznie dzielników pierwszych dających resztę z dzielenia przez (ich iloczyn dałby resztę ). Zatem istnieje taki dzielnik pierwszy że Dzielnik ten nie należy do czyli żaden taki zbiór skończony nie zawiera wszystkich liczb pierwszych z naszego ciągu arytmetycznego, a więc takich liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.