W żargonie IFS oznacza często także samą rodzinę funkcji Twierdzenie to obowiązuje w istocie na dowolnej przestrzeni metrycznej zupełnej, aczkolwiek z punktu widzenia zastosowań najważniejszy zdaje się być przypadek euklidesowy (w szczególności, gdy jest prostokątem na płaszczyźnie).
Metoda iteracji Jeżeli zdefiniujemy teraz przekształcenie które dany zbiór zmienia w sumę obrazów przez tzn.
to wówczas kolejne obrazy będą coraz bardziej przypominać atraktor, niezależnie od tego od jakiego ograniczonego zbioru początkowego zaczniemy. Dokładniej,
w metryce Hausdorffa. Metryka ta jest zdefiniowana następująco. Dla dwu zbiorów i określamy
gdzie oznaczają -otoczki zbiorów (otoczki „grubości” ).
Własność ta jest podstawą wizualizacji fraktali otrzymywanych przez IFS. W zastosowaniach ważną rolę odgrywa algorytm iteracji losowej zwany grą chaosu. Zamiast iterować obraz całego zbioru poprzez operator Hutchinsona iteruje się obraz punku poprzez losowo wybierane odwzorowania Zbiór punktów skupienia tak utworzonej orbity z prawdopodobieństwem 1 pokrywa się z atraktorem
Warunek zbioru otwartego i wymiar Hausdorffa Mówimy, że IFS spełnia warunek zbioru otwartego, jeżeli istnieje (niepusty) otwarty zbiór taki, że