Cztery razy kwalifikował się do turnieju Masters (1976, 1978, 1980, 1982).
Jedyne wielkoszlemowe zwycięstwo odniósł w styczniu 1977, pokonując w finale Australian Open Guillermo Vilasa (rozegraną w grudniu tegoż roku edycję Australian Open wygrał Vitas Gerulaitis). Prawdopodobnie więcej sławy przyniósł mu jednak finał Wimbledonu w 1979, kiedy przegrał po dramatycznej, pięciosetowej walce z Björnem Borgiem. W drodze do finału wimbledońskiego pokonał w 1/8 finału Clerca z Argentyny oraz rodaków Tima Gulliksona (w ćwierćfinale) i Pata Dupre (w półfinale). Przed turniejem nawiązał współpracę z trenerem Dennisem Ralstonem, dzięki któremu gra Tannera stała się bardziej wszechstronna – przede wszystkim Amerykanin poprawił return i bekhend.
W 1975 i 1976 dochodził do półfinałów Wimbledonu, w 1976 eliminując m.in. Connorsa. Na ćwierćfinale kończył wimbledońskie starty w 1980 i 1983. W 1979 był bliski awansu do finału US Open – w ćwierćfinale pokonał Borga, a w półfinale prowadził z Gerulaitisem 2:0 w setach. Ostatni raz grał w ćwierćfinale US Open w 1981.