Interpretacja geometryczna – dla danych rzędnych funkcji szuka się wielomianu stopnia co najwyżej którego wykres przechodzi przez te rzędne (rys. obok).
Uogólniony wielomian interpolacyjny Skorzystamy z wielomianu o postaci ogólnej
utworzonej z pewnego zbioru funkcji które są liniowo niezależne i tworzą bazę interpolacji
Współczynniki dobierzemy w taki sposób, aby spełnione były warunki
w których oznaczają współrzędne danych węzłów interpolacji funkcji Po uwzględnieniu (1) otrzymujemy układ równań
lub w zapisie macierzowym
Na podstawie (1) i (5) otrzymujemy
O jakości interpolacji decydują: wybór bazy oraz wybór położenia węzłów
Interpolacja Lagrange’a Najprostszą bazę interpolacji można utworzyć z jednomianów
W tym przypadku otrzymuje się macierz
o strukturze Vandermonda i dzięki temu zawsze istnieje rozwiązanie problemu jeżeli tylko gdy
Korzystając ze wzoru (6) i bazy (7), możemy utworzyć taką funkcję która spełnia warunki Wystarczy obliczyć współczynniki rozwiązując układ równań (4) z prawą stroną
Wielomian taki zaproponował Lagrange w postaci
gdzie jest iloczynem, w którym i
Wielomian Lagrange’a Wielomian Lagrange’a to szczególna postać wielomianu, wykorzystywana często w zagadnieniach interpolacji.