W gronie seniorów najwyższe miejsce w rankingu zajmował w grudniu 1975 roku, 8. pozycję. Do grona tenisistów profesjonalnych dołączył w 1970 roku. Wygrał 7 turniejów, w kolejnych 20 był w finale. Sukcesy odnosił w grze podwójnej, odnosząc 28 zwycięstw turniejowych, w tym 2 wielkoszlemowe, podczas Australian Open z 1975 roku (z Philem Dentem) i 1982 roku (z Johnem Fitzgeraldem). Był również w wielkoszlemowych finałach deblowych na Australian Open (1970, 1973, 1977 – edycja grudniowa), Wimbledonie (1977) i French Open (1975).
Finał w 1968 roku nie był jedynym występem Alexandra o Puchar Davisa. Grał również w kolejnych dwóch edycjach imprezy (nie grał w 1973, kiedy Australia zdobyła trofeum), a po kilkuletniej przerwie od 1974 roku był już regularnym reprezentantem, odnosząc kilka cennych zwycięstw, m.in. nad Włochami Adriano Panattą i Corrado Barazzuttim w półfinale w 1976 roku. Wówczas te dwa zwycięstwa nie dały Australii wygranej, jednak rok później w finale w Sydney Alexander ponownie pokonał najpierw Barazzuttiego, a potem w decydującym, czwartym pojedynku Panattę. Łącznie rozegrał w zespole narodowym 41 spotkań, z czego 27 wygrał.