Rattus rattus sensu stricto pochodzi z obszaru zachodnich Indii i Pakistanu. Został zawleczony we wszystkie części strefy klimatu umiarkowanego, na część strefy tropikalnej i subantarktycznej. Naukowcy opisali cztery epizody globalnej ekspansji szczura śniadego. Około 20 000 lat temu jedna z grup szczurów rozprzestrzeniła się z zachodnich Indii do Azji Zachodniej i dalej do Europy, prawdopodobnie wraz z rozwojem handlu w neolicie i epoce żelaza. 15 000 lat temu występował już na terenach obecnego północnego Izraela, w Europie pojawił się w holocenie i był znany w starożytności. W IV wieku dotarł na Wyspy Brytyjskie wraz z podbojem Brytanii przez Rzymian. Szczury wywodzące się z tej linii dotarły następnie do Afryki i obu Ameryk wraz z europejskimi odkrywcami. Szczury śniade pojawiły się na Haiti wraz z Kolumbem i żyły w osadzie La Navidad; do końca XVI wieku występowały już na wybrzeżach Ameryki Północnej, Środkowej i Południowej. Na wyspach Pacyfiku były obecne w połowie XIX wieku, a prawdopodobnie pojawiły się jeszcze pod koniec XVII wieku.