Nierówność między średnimi potęgowymi (nierówność między średnimi uogólnionymi) – jedna z klasycznych nierówności mówiąca o własnościach średniej potęgowej. Jest ona uogólnieniem nierówności Cauchy’ego między średnimi, sama zaś jest uogólniana przez nierówność Muirheada.
Definicja i twierdzenie
Średnią potęgową rzędu liczb definiuje się jako: dla
Przykładowo, dla otrzymujemy średnią arytmetyczną, dla średnią geometryczną, dla średnią harmoniczną, dla średnią kwadratową.
Twierdzenie Niech i niech dane będzie liczb (jeśli ograniczamy się do rzędów można przyjąć ).
Wówczas średnia potęgowa rzędu liczb jest nie większa od ich średniej potęgowej rzędu czyli
Ponadto równość w powyższym wyrażeniu zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby są wszystkie równe.
Wniosek Dla dowolnych liczb dodatnich funkcja
jest funkcją niemalejącą. Więcej: można pokazać, że jest stała lub ściśle rosnąca.
Przykład Udowodnimy korzystając z powyższej nierówności, że jeśli oraz to
W tym celu zauważmy, że na mocy nierówności między średnimi potęgowymi rzędów 1 oraz 3 mamy
co jest równoważne nierówności, którą mieliśmy udowodnić.
Dowód Na potrzeby wszystkich dowodów dla uproszczenia zakładamy, że wagi spełniają warunki: