dostajemy
Załóżmy w tym momencie, że i rozpatrzmy obie całki osobno.
Analogicznie:
Zatem:
Widać, że założenie, iż jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w mianowniku.
Powyższe równania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe z wagą
Teraz rozważmy przypadek, kiedy
W przypadku dostajemy co kończy dowód.
Przykłady wielomianów Czebyszewa mały|360px|Wykresy wielomianów Czebyszewa od do
Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:
Własności Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa ma na odcinku najmniejszą normę jednostajną (maksymalną wartość absolutną), spośród wszystkich wielomianów stopnia k, o współczynniku wiodącym równym jeden. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:
zachodzi nierówność:
Wiedząc, że dla każdego wielomian przyjmuje wszystkie wartości z możemy napisać: