Kariera klubowa Shamrock Rovers Po przejściu przez akademię Shamrock Rovers Bazunu zadebiutował w pierwszym zespole 9 czerwca 2018 roku w wygranym 5:0 domowym meczu z Bray Wanderers, mając zaledwie 16 lat. Trener Stephen Bradley przyznał, że choć nie chciał „rzucać [młodych bramkarzy] na głęboką wodę tak wcześnie”, Bazunu był „gotowy” na debiut w seniorskim zespole. W sezonie 2018 League of Ireland Premier Division zaliczył jeszcze trzy kolejne występy dla Shamrock Rovers. Wśród nich znalazł się mecz z Cork City, w którym obronił rzut karny, dzięki czemu zakończył ligowy okres z czterema czystymi kontami w czterech meczach. Rozegrał także dwa spotkania w Lidze Europy UEFA 2018/19.
Manchester City 6 września 2018 roku ogłoszono, że Bazunu dołączył do Manchesteru City za nieujawnioną kwotę, szacowaną na 420 tysięcy funtów, choć termin transferu nie został jeszcze ustalony, ponieważ zawodnik chciał dokończyć edukację w irlandzkim systemie szkolnym. W kolejnym miesiącu poinformowano, że podpisał z Manchesterem City umowę przedwstępną, a początkowo zakładano, że dołączy do klubu latem 2019 roku, lecz termin ten przyspieszono do lutego 2019 roku.