Dowód tego faktu opiera się właśnie na rachunku wariacyjnym, ponieważ długość krzywej dana jest pewną całką.
W przypadku płaszczyzny euklidesowej ( z metryką euklidesową), krzywa łącząca punkty i dana jest funkcją taką, że i gdzie
Długość elementu krzywej ma postać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa) gdzie to małe zmiany współrzędnych.
Wtedy długość całej krzywej dana jest całką:
Metodami rachunku wariacyjnego możemy wyznaczyć krzywą minimalizującą funkcjonał dany tą całką. W tym przypadku krzywa ta dana jest równaniem:
Najkrótszy czas przejazdu Pomiędzy miejscowościami i porusza się pojazd w terenie o tak zróżnicowanej nawierzchni, że w danym jej punkcie musi zachować prędkość o wartości Zakładając, że element trasy pojazd przebywa w czasie możemy czas przejazdu z A do B po trasie obliczyć za pomocą całki
której wartość zależy od wyboru trasy i osiąga minimum dla trasy optymalnej
Zasada Fermata
Związane z szukaniem geodezyjnej jest szukanie drogi promienia światła.