Postulatami programu Hilberta wstrząsnęło twierdzenie Gödla o niedowodliwości niesprzeczności, które uzmysłowiło matematykom, że dostatecznie bogate teorie dowodzenia nie pozwalają na wykazanie niesprzeczności samych siebie (przy założeniu, że są one rzeczywiście niesprzeczne).
Pomimo iż niesprzeczność można wykazać za pomocą teorii modeli, to często robi się to, opierając się wyłącznie na syntaktyce, bez odnoszenia się do modeli.
Formuły Zbiór formuł rachunku predykatów pierwszego rzędu jest niesprzeczny, symbolicznie wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma formuły takiej, że i W przeciwnym razie jest sprzeczny i piszemy
Następujące zdania są równoważne:
Dla każdego
Każdy spełnialny zbiór formuł jest niesprzeczny, przy czym zbiór formuł jest spełnialny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje model taki że
Dla każdego i jeśli nie to jeśli i to jeśli to lub
Niesprzeczność i zupełność arytmetyki W teoriach arytmetyki, takich jak arytmetyka Peana, zachodzi dogłębna zależność pomiędzy niesprzecznością danej teorii i jej zupełnością.