gdzie to niezerowe wartości własne macierzy gęstości to wektory własne tej macierzy i zarówno jak i stan pomocniczy stanowią bazy ortonormalne. Powyższe przekształcenie zakłada zależność stanu pomocniczego od stanu wejściowego (tj. możliwość ukrycia w tej zależności informacji o stanie wejściowym), jednak z uwagi na zakładaną liniowość procesu ukrywającego stan pomocniczy będzie się składał z ortonormalnego zbioru stanów nawet przy superpozycji stanu wejściowego
gdzie oznacza dowolny stan ortogonalny do Iloczyn skalarny takich dwóch stanów pomocniczych k, l
a zatem dla dowolnych amplitud prawdopodobieństwa wszystkie elementy pozadiagonalne muszą być zerowe. Przyjmując ortonormalną bazę stanu wejściowego, można zdefiniować ortonormalną bazę rozpiętą na Kd-wymiarowej przestrzeni Hilberta, która w pełni opisuje zredukowany stan pomocniczy. Ponieważ unitarność pozwala na przekształcenie dowolnej bazy ortonormalnej w inną, tak zdefiniowaną bazę możemy zapisać jako