thumb|211x211px|Rys. 1. Układy współrzędnych w przestrzeni 2-wymiarowej: krzywoliniowy (u góry), afiniczny (z prawej), kartezjański (z lewej).

Współrzędne krzywoliniowe mogą być określone w przestrzeni euklidesowej o dowolnym, skończonym wymiarze Tworzą one rodzin linii (w ogólnym przypadku linii krzywych) w postaci regularnych siatek przestrzennych (rys. 1).

Najczęściej spotykanymi są współrzędne: prostokątne (kartezjańskie), ukośnokątne (afiniczne), biegunowe, cylindryczne, sferyczne.

Aby wprowadzić jakieś współrzędne krzywoliniowe, w danej przestrzeni euklidesowej, trzeba podać odpowiednie wzory transformacyjne opisujące sposób przejścia do tych nowych współrzędnych od starych współrzędnych kartezjańskich. Wymaga się przy tym:

(1) aby współrzędnym kartezjańskim punktów przestrzeni odpowiadały unikalne wartości współrzędnych krzywoliniowych. Dlatego wzory transformacyjne muszą być opisane funkcjami wzajemnie jednoznacznymi. Ta bijekcja nie zawsze jest możliwa w całej przestrzeni

(2) aby funkcje transformujące były różniczkowalne dostateczną liczbę razy dzięki czemu staje się możliwe zdefiniowanie bogatszej struktury, np. wprowadzenie lokalnych baz wektorów w każdym punkcie dziedziny, co pozwala na definiowanie pól wektorowych czy też tensorowych i wykonywanie na nich operacji różniczkowania i całkowania.

Nazwa „współrzędne krzywoliniowe” została wprowadzona przez francuskiego matematyka Gabriela Lamé. Formalizm współrzędnych krzywoliniowych został uogólniony na przestrzenie nieeuklidesowe, m.in. przez Riemanna.

W tym artykule zagadnienie współrzędnych krzywoliniowych omówiono na przykładzie przestrzeni 3-wymiarowej, która jest dobrym modelem przestrzeni fizycznej (podobnie omawia to np. ). Zaletą takiego podejścia jest to, że podane w nim pojęcia i metody obliczeniowe w sposób naturalny dają się uogólnić na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru. Nieznaczne zaś rozszerzenie formalizmu poprzez dopuszczenie dowolnej postaci tensora metrycznego pozwala łatwo przejść do opisu geometrii nieeuklidesowych.

Zastosowania Układy współrzędnych krzywoliniowych znajdują liczne zastosowania np.: w teoriach pól fizycznych (skalarnych, wektorowych i tensorowych); pojawiające się w analizie tych pól wielkości geometryczne, takie jak gradient, dywergencja, rotacja, laplasjan itp. wyraża się we współrzędnych krzywoliniowych, wychodząc od definicji tych wielkości we współrzędnych kartezjańskich i po wykorzystaniu wzorów transformacyjnych. Otrzymanym wyrażeniom nadaje się postać uniwersalną, obowiązującą w dowolnym układzie krzywoliniowym; w mechanice klasycznej i w mechanice kwantowej przy rozwiązywaniu zagadnień ruchu ciał poddanych działaniu sił centralnych użycie układu krzywoliniowego upraszcza opis ruchu (np. opis ruchu planet wokół gwiazdy centralnej, czy ruchu elektronu wokół jądra atomu – model atomu Bohra w układzie sferycznym); w ogólnej teorii względności – użycie współrzędnych krzywoliniowych jest niezbędne, gdyż efektem działania pól grawitacyjnych jest zakrzywienie czasoprzestrzeni. Nie da się ściśle opisać ani pól grawitacyjnych, ani trajektorii ciał poruszających się w tych polach, za pomocą współrzędnych prostokątnych; np. ciała w polach grawitacyjnych poruszają się po liniach geodezyjnych, które nie są prostymi euklidesowymi.

Współrzędne krzywoliniowe w przestrzeni euklidesowej 3D (1) Niech w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej z wprowadzonym w niej układem kartezjańskim będzie dany punkt opisany jego wektorem wodzącym zależnym od trzech parametrów tj.

gdzie: są wersorami bazy przyjętego układu współrzędnych kartezjańskich oraz

przy czym funkcje są klasy tj. mają ciągłe pierwsze pochodne cząstkowe.

(2) Definicja: Parametry nazywamy współrzędnymi krzywoliniowymi punktu jeżeli istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy nimi a współrzędnymi kartezjańskimi punktu przy czym wymaga się, by poniższy jakobian był różny od zera dla punktów gdzie – zbiór, na jakim chce się wprowadzić współrzędne krzywoliniowe, tj.

Warunek niezerowania się jakobianu oznacza, że w każdym punkcie rozważanego obszaru będzie można wprowadzić 3 osie lokalnego układu współrzędnych, styczne do linii współrzędnych i parami nierównoległe (por. rys. 2). link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:General_curvilinear_coordinates_1.svg|mały|257x257px|Rys. 2. Powierzchnie współrzędnych, krzywe współrzędnych, osie współrzędnych dowolnego układu współrzędnych krzywoliniowych.

(3) Warunek równoważny: Jakobian transformacji odwrotnej o składowych musi być różny od zera dla punktów gdzie – obraz zbioru w transformacji dokonującej przejścia od współrzędnych krzywoliniowych do kartezjańskich.

(4) Definicja: Mówi się, że funkcje wprowadzają w przestrzeni krzywoliniowy układ współrzędnych.

(5) Definicja: Krzywe współrzędnych. Siatka współrzędnych krzywoliniowych

a) Ustalając wartości dwu nowych współrzędnych, a zmieniając wartość pozostałej, otrzymuje się krzywą w przestrzeni opisaną parametrycznie za pomocą zmieniającej się wartości współrzędnej, np.

przedstawia krzywą współrzędnych przy ustalonych wartościach współrzędnych oraz

b) Zmieniając wartości współrzędnych otrzymuje się różne linie siatki współrzędnej

c) Postępując podobnie dla pozostałych współrzędnych, uzyskuje się wszystkie linie siatki współrzędnych krzywoliniowych.

d) Przez każdy punkt przechodzą trzy przecinające się wzajemnie linie współrzędnych

Przykład: Współrzędne sferyczne link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Spherical_coordinate_elements.svg|mały|258x258px|Rys. 3. Powierzchnie współrzędnych, krzywe współrzędnych i osie współrzędnych dla współrzędnych sferycznych. Powierzchnie: r – sfery, θ – stożki, φ – półpłaszczyzny. Krzywe: r – proste idące promieniście, θ – pionowe półokręgi, φ – poziome okręgi. Osie: r – proste idące promieniście, θ – styczne do pionowych półokręgów, φ – styczne do poziomych okręgów. (1) Współrzędne sferyczne są zdefiniowane przez następujące funkcje współrzędnych kartezjańskich

przy czym:

(2) Konwersję ze współrzędnych sferycznych na współrzędne kartezjańskie określają wzory odwrotne:

(3) Jakobian przejścia

W punktach, gdzie jakobian jest różny od zera można wprowadzić lokalne układy wektorów bazowych, styczne do linii współrzędnych (por. rys. 4).

Współrzędne kontrawariantne i kowariantne link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Vector_1-form.svg|mały|257x257px|Rys. 4. Wektor v rozłożony w dwóch bazach:(1) baza wersorów (żółta, z lewej) – stycznych do krzywych współrzędnych (czarne)(2) kobaza wersorów (niebieska, z prawej) – prostopadłych do powierzchni współrzędnych (szare).Wersory bazy i kobazy nie są do siebie równoległe, chyba że współrzędne (q1, q2, q3) są ortogonalne. Mając dany układ współrzędnych krzywoliniowych, można określić dla niego, w każdym punkcie przestrzeni, lokalne wersory osi, przy czym można to zrobić na dwa różne sposoby: wersory bazy są styczne do linii współrzędnych, przechodzących przez dany punkt. Współrzędne wektora reprezentowanego w tej bazie nazywa się jego współrzędnymi kontrawariantnymi (przeciwzmienniczymi). Tę bazę nazywa się także bazą wektorów kontrawariantnych; wersory kobazy zwanej też bazą dualną, są normalne do płaszczyzn współrzędnych przechodzących przez dany punkt. Współrzędne wektora reprezentowanego w kobazie nazywa się jego współrzędnymi kowariantnymi (współzmienniczymi). Tę bazę nazywa się również bazą wektorów kowariantnych; dowolny wektor w można zapisać dwojako

W układzie współrzędnych kartezjańskich baza i kobaza są identyczne:

Aby odróżnić współrzędne kontrawariantne od kowariantnych stosuje się umowę: współrzędnym kontrawariantnym (liczonym względem bazy) przypisuje się wskaźniki górne, współrzędnym kowariantnym (liczonym względem kobazy) przypisuje się wskaźniki dolne.

Własności bazy i kobazy (1) Wektory bazy i kobazy dla dowolnego układu współrzędnych krzywoliniowych, pozwala obliczać uniwersalna procedura (patrz niżej).

(2) Współrzędne nazywa się ortogonalnymi, jeżeli linie współrzędnych przecinają się pod kątami prostymi. Np. współrzędne sferyczne, walcowe, biegunowe są ortogonalne.

(3) Wektory bazy (i kobazy) współrzędnych ortogonalnych są ortogonalne. W takim przypadku wektory bazy i kobazy są parami równoległe do siebie.

(4) Wybór bazy pozwala wykonywać w niej obliczenia, np. dowolne pole wektorowe może być rozłożone na składowe przez rzutowanie: na wektory bazy – wtedy pole to ma współrzędne kontrawariantne – lub na wektory kobazy – wtedy pole ma współrzędne kowariantne – współrzędne pola są zazwyczaj funkcjami różniczkowalnymi (zależnymi od punktów przestrzeni) – dzięki temu możliwe jest wykonywanie obliczeń, np. obliczanie zmian pola w zadanych warunkach, korzystając z równań pola (np. równań Maxwella, równań Einsteina).

Baza wektorów kontrawariantnych Obliczanie bazy wektorów kontrawariantnych (1) W każdym nieosobliwym punkcie rozpatrywanego obszaru można zdefiniować trzy wektory bazowe styczne odpowiednio do krzywych przy ustalonych wartościach dwóch pozostałych nowych współrzędnych

gdzie: – wektory ortonormalne układu współrzędnych kartezjańskich.

(2) Z powyższych wzorów widać, że: Baza układu kartezjańskiego transformuje się w bazę układu krzywoliniowego za pomocą macierzy transformacji

Elementami tej macierzy są pochodne współrzędnych kartezjańskich względem współrzędnych krzywoliniowych, obliczone w danym punkcie obszaru Macierze transformacji obliczone w różnych punktach przestrzeni będą mieć więc na ogół różne elementy.

Macierz transformacji ma istotne znaczenie w określaniu własności transformacyjnych obiektów geometrycznych (wektorów, tensorów), określonych w danym punkcie obszaru

(3) Niezerowanie się jakobianu gwarantuje, że wektory są nierównoległe do siebie, a więc tworzą bazę. W skrócie wektory te można zapisać jednym wyrażeniem

lub stosując konwencję sumacyjną Einsteina

gdzie sumuje się po powtarzającym się wskaźniku przyjmując

(4) Nieznikanie jakobianu w każdym punkcie gwarantuje też, że istnieje wzór odwrotny

gdzie sumuje się po powtarzającym się wskaźniku przyjmując

(5) Wzory (2) i (3) realizują wzajemne transformacje pomiędzy bazami: i

(6) Macierz jest odwrotna do macierzy co oznacza, że słuszna jest zależność

– sumujemy tu po wskaźniku

(7) Podobnie, słuszna jest zależność odwrotna

– sumujemy tu po wskaźniku

Uwaga: Wektory bazy są styczne odpowiednio do linii współrzędnych – nie są jednak ortogonalne jeśli linie współrzędnych w danym punkcie nie przecinają się pod kątami prostymi. Ponadto wektory te nie są unormowane do co więcej – ich długość może zmieniać się ze zmianą położenia w przestrzeni. Spośród wielu baz wygodne są bazy ortogonalne, gdyż łatwiej wykonywać w nich obliczenia.

Normowanie wektorów bazy Wektory bazy łatwo unormować do po prostu dzieli się te wektory przez ich długość, którą oblicza się jako pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora przez siebie:

Powyższe współczynniki noszą nazwę współczynników Lamego.

Unormowane wektory bazy (tzn. jej wersory) mają postać:

Przykład: Baza ortonormalna wektorów kontrawariantnych Współrzędne sferyczne (1) Współrzędne kartezjańskie są wyrażone przez współrzędne sferyczne wzorami

(2) Obliczamy wektory bazowe:

(3) Wektory te są ortogonalne, gdyż zerują się ich iloczyny skalarne

co łatwo policzyć, mnożąc wektory przez siebie.

(4) Obliczamy długości wektorów czyli współczynniki Lamego

(5) Normujemy wektory do dzieląc je przez ich długości

Powyższe wektory tworzą bazę ortonormalną układu kontrawariantnych współrzędnych sferycznych. Widać, że współrzędne tych wektorów zależą tylko od współrzędnych punktu w którym wektory te tworzą bazę – styczną do linii współrzędnych sferycznych. Oznacza to, że dwie bazy wyznaczone dla dwu różnych punktów o współrzędnych i są identyczne.

(6) Skrętność układu wektorów bazy

Można sprawdzić, że mnożąc wektorowo wektor przez wektor otrzyma się wektor tzn.

co oznacza, że wektory te ustawione w kolejności tworzą bazę prawoskrętną.