Kryterium Cauchy’ego zagęszczające (także kryterium kondensacyjne, kryterium zagęszczania) – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych udowodnione przez Cauchy’ego. Rozszerzeniem kryterium Cauchy’ego zagęszczającego jest kryterium Schlömilcha zagęszczające.
Kryterium Niech dany będzie szereg liczbowy
którego ciąg wyrazów jest nierosnący oraz dla wszelkich Ponadto, niech dany będzie szereg
Wówczas szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny.
W sformułowaniu kryterium Cauchy’ego zagęszczającego szereg można zastąpić szeregiem
dla dowolnej liczby naturalnej .
Dowód W dowodzie wygodnie jest użyć notacji funkcyjnej; niech
Ponieważ ciąg jest nierosnący, zachodzą oszacowania
Istotnie, nierówność (1) wynika z oszacowania:
Nierówność (2) wynika natomiast z oszacowania:
Z kryterium porównawczego wynika zatem, że szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, szereg jest zbieżny.
Przykłady zastosowania Szereg harmoniczny
jest rozbieżny. Istotnie, .
Szereg
jest rozbieżny. Istotnie,
co wynika z rozbieżności szeregu harmonicznego.
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Cauchy test , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Cauchy’ego zagęszczające