W analizie numerycznej, odwrotna interpolacja kwadratowa – algorytm iteracyjnego znajdowania pierwiastków funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Pomysłem jest użycie interpolacji kwadratowej do aproksymacji funkcji odwrotnej do Ten algorytm jest rzadko używany samodzielnie, ale jest istotny gdyż stanowi część popularnej metody Brenta.
Metoda Algorytm odwrotnej interpolacji kwadratowej jest definiowany przez równanie rekurencyjne
gdzie Jak można zauważyć z zależności rekurencyjnej, ta metoda wymaga trzech początkowych wartości: i
Opis metody Używamy trzech poprzedzających iteracji i z ich trzema wartościami funkcji i Stosując wzór interpolacji Lagrange’a do kwadratowej interpolacji odwrotności otrzymamy
Patrzymy na pierwiastek podstawiając w powyższym równaniu i jego rezultatach w powyższej formule rekurencyjnej.
Zachowanie Asymptotyczne zachowanie jest bardzo dobre: ogólnie, iteracje zbiegają szybko do pierwiastka gdy się do niego zbliżymy. Jakkolwiek wydajność jest często całkiem zła jeśli nie wystartujemy blisko rzeczywistego pierwiastka. Na przykład jeśli przez przypadek dwie z wartości funkcji i pokrywają się, algorytm zawodzi całkowicie. Zatem odwrotna interpolacja kwadratowa jest rzadko używana jako algorytm samodzielny.
Rząd zbieżności jest około 1,8 jak można udowodnić przez analizę metody siecznych.
Porównanie z innymi metodami znajdowania pierwiastków Jak wspomniano na wstępie, odwrotna interpolacja kwadratowa jest stosowana w metodzie Brenta.
Odwrotna interpolacja kwadratowa jest również blisko związana z innymi metodami szukania pierwiastków. Używając interpolacji liniowej zamiast kwadratowej, dostajemy metodę siecznych. Interpolując zamiast odwrotności dostajemy metodę Mullera.
Linki zewnętrzne James F. Epperson, An introduction to numerical methods and analysis, s. 182–185, Wiley-Interscience, 2007. .
Lecture 07 Finding Roots – Brent’s Methods The Bisection and Secant methods
Kategoria:Algorytmy rozwiązywania równań nieliniowych