Twierdzenie Markowa-Kakutaniego – twierdzenie o punkcie stałym udowodnione przez Andrieja MarkowaA. Markow, Quelques théorèmes sur les ensembles abéliens, „Dokl. Akad. Nauk SSSR” 10 (1936), s. 311–314. oraz Shizuo KakutaniegoS. Kakutani, Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets, „Proc. Imp. Acad.” 14 (1938), no. 7, s. 242–245. mówiące o istnieniu wspólnego punktu stałego dla półgrupy ciągłych operatorów afinicznych określonych na wypukłym, zwartym podzbiorze przestrzeni lokalnie wypukłej.
Twierdzenie Niech będzie przestrzenią lokalnie wypukłą oraz niech będzie zbiorem wypukłym i zwartym. Niech będzie rodziną operatorów afinicznych które ze sobą komutują, tj. dla Wówczas operatory te mają wspólny punkt stały, tj. istnieje taki że dla wszystkich
Dowód Istnienie punktu stałego dla jednego operatora Niech będzie operatorem afinicznym. Dla niech
Wówczas Ze zwartości wynika, że ciąg ma podciąg uogólniony zbieżny do pewnego Punkt jest punktem stałym dla tj. Rzeczywiście, z lokalnej wypukłości przestrzeni wystarczy wykazać, że
gdyż ciągłe funkcjonały liniowe na rozdzielają punkty (tj. dla dowolnej pary różnych punktów istnieje taki ciągły funkcjonał liniowy na dla którego ). Niech Ze zwartości jest ograniczony na przez pewną stałą Z drugiej strony
W szczególności dla przechodząc do granicy podciągu uogólnionego, dostaje się tezę.
Przypadek ogólny Dla każdego zbiór punktów stałych operatora jest niepusty, ale także wypukły i zwarty. Ponadto
z uwagi na to, że dla W szczególności, dla każdego skończonego podzbioru mamy
Rodzina składająca się zwartych podzbiorów przestrzeni zwartej ma własność skończonych przekrojów, a więc jej część wspólna jest niepusta. Oznacza to, że element należący do części wspólnej tej rodziny jest wspólnym punktem stałym dla operatorów z
Przypisy
Markowa-Kakutaniego Markowa-Kakutaniego Kategoria:Przestrzenie liniowo-topologiczne