Modularność – własność obiektów algebraicznych pierwotnie zaobserwowana w teorii grup przez Richarda Dedekinda, stąd znana też jako prawo modularności DedekindaKronecker „modułami” nazywał podgrupy grup abelowych; zob. moduł: Motywacja., a następnie przeniesiona na grunt teorii pierścieni i teorii modułówNiem. Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (1864), fr. Sur la théorie des nombres entiers algébriques (1877), „O teorii algebraicznych liczb całkowitych” Dedekinda.. Naturalnym kontekstem okazała się jednak teoria krat – kraty spełniające tę własność nazwano kratami modularnymi.

Grupy, pierścienie i moduły

Dla dowolnych podgrup danej grupy, dla których ( jest podgrupą ), zachodzi własność modularności

gdzie mnożenie (oznaczone przez zestawienie) oznacza iloczyn kompleksowy; w notacji addytywnej z kolei własność tam ma postać

przy czym dodawanie oznacza grupę generowaną przez

W tej postaci jest ona prawdziwa dla pierścieni, czy modułów, gdy oznaczają ideały danego pierścienia lub podmoduły ustalonego modułu (przy założeniu jest ideałem/podmodułem oznacza ideał/moduł generowany przez )W notacji addytywnej (grupy przemienne, pierścienie lub moduły): niech ponieważ to Odwrotnie: niech Jeśli to i istnieją takie że Wówczas oraz (ponieważ ), więc Stąd a zatem Zawieranie przeciwne: jeśli to istnieją wtedy takie oraz że Wtedy ponieważ a więc Skoro zaś to Dlatego co dowodzi O konieczności założenia przekonuje następujący przykład: niech oraz wtedy oraz przy czym . Wszystko co dotyczy modułów przenosi się bez zmian na przestrzenie liniowe.

Kraty Dla krat własność tę można przedstawić w postaci tożsamości: dla dowolnych elementów zachodzi

Można ją wyrazić w słabszej postaci jednego z aksjomatów rozdzielności: dla elementów przy czym zachodzi

Sformułowania są równoważne, gdyż wtedy i tylko wtedy, gdy Jest to w istocie postać opisana w poprzedniej sekcji dla struktur algebraicznych.

Ponieważ w dowolnej kracie prawdziwa jest nierówność

jako że tak jak i są większe lub równe od oraz to prawo modularności jest równoważne

Kraty rozdzielna, projektywna, czy metryczna są kratami modularnymi.

Przykłady Wśród przykładów krat modularnych można wymienić kraty podgrup normalnych (permutowalnych/quasi-normalnych)Dowolna podgrupa grupy przemiennej (abelowej) jest normalna. danej grupy, krata podprzestrzeni danej przestrzeni liniowej (podprzestrzeni danej przestrzeni rzutowej), krata ideałów danego pierścienia, czy krata podmodułów danego modułu. We wszystkich tych przypadkach porządkiem częściowym w tych kratach jest zawieranie. Kres dolny to część wspólna zbiorów, zatem kres dolny dowolnej liczby elementów zawsze istnieje; kres górny dowolnego zbioru elementów definiuje się jako W języku algebraicznym kres dolny to podgrupa, podprzestrzeń, ideał lub podmoduł generowane przez wszystkie elementy należące do sumy

Niech będzie grupą, a oraz jej dwiema podgrupami zawartymi jedna w drugiej, dla których Jeżeli jest podgrupą normalną w to oraz pociągają Z prawa modularności wynika bowiem założenie normalności jest niezbędne w celu zagwarantowania, że ma strukturę grupy (jako iloczyny półproste).

Zobacz też dziedzina Dedekinda dziedzina Prüfera grupa modularna (Iwasawy) lemat Zassenhausa podgrupa modularna

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne Modular lattice , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

Kategoria:Teoria grup Kategoria:Podzbiory pierścieni Kategoria:Teoria modułów Kategoria:Przestrzenie liniowe Kategoria:Teoria krat