Półpierścień – struktura algebraiczna podobna do pierścienia, która jednak nie musi być grupą względem dodawania. Oznacza to, że elementy półpierścienia nie muszą mieć elementu przeciwnego do siebie.
Definicja Półpierścień jest to zbiór R z ustalonymi działaniami + i · nazywanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem, spełniającymi:
jest półgrupą przemienną z elementem neutralnym 0:
jest półgrupą z elementem neutralnym 1:
Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania:
Mnożenie elementów R przez 0 daje 0:
Ostatni z powyższych aksjomatów jest pomijany w definicji pierścienia, ponieważ wynika z wcześniejszych aksjomatów pierścienia. Tutaj jednak jest on niezbędny.
Półpierścień jest więc przemienną półgrupą względem dodawanie i niekoniecznie przemienną półgrupą względem mnożenia. W szczególności elementy w półpierścieniu nie muszą mieć elementów przeciwnych.
Symbol mnożenia ( · ) jest zwykle pomijany w zapisie. Przykładowo: a·b może być zapisane jako ab. Stosowana jest też kolejność wykonywania działań, według której mnożenie ( · ) wykonywane jest przed dodawaniem (+).
Półpierścień przemienny jest to półpierścień, w którym mnożenie jest przemienne. Półpierścień idempotentny jest to półpierścień, w którym dodawanie jest idempotentne (czyli a+a=a).
Bibliografia François Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Synchronization and Linearity (online version), Wiley, 1992, Golan, Jonathan S., Semirings and their applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp.
Linki zewnętrzne [dostęp 2024-03-07]. Semi-ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].
Kategoria:Struktury dwóch działań wewnętrznych Kategoria:Teoria pierścieni