Element absorbujący – element zbioru z działaniem dwuargumentowym, którego iloczyn z dowolnym innym elementem zbioru jest tym elementem absorbującym. W teorii półgrup, element absorbujący nazywany jest elementem zerowymJ.M. Howie, s. 2–3.M. Kilp, U. Knauver, A.V. Mikhalev, s. 14–15., ponieważ nie istnieje ryzyko pomylenia go z innym pojęciem zera. W tym artykule oba pojęcia są równoznaczne. Element absorbujący może też być nazywany elementem anihilującym.
Definicja formalna Niech będzie zbiorem z określonym na zbiorze zamkniętym działaniem dwuargumentowym (grupoid). Element absorbujący (zerowy) jest to taki element że dla każdego należącego do Wyróżnia się pojęcia: zera lewego, gdy wymagane jest jedynie zera prawego, gdzie wymagane jest tylko
Elementy absorbujące są szczególnie ciekawe w półgrupach, zwłaszcza w multiplikatywnych półgrupach półpierścienia. W przypadku półpierścienia z 0, definicja elementu absorbującego jest czasem uproszczona tak, że nie jest wymagane by element absorbował 0; wystarcza by 0 było jedynym absorbującym elementemJ.S. Golan, s. 67..
Własności Jeśli grupoid ma zarówno lewe, jak i prawe zero, to ma zero, ponieważ Jeśli grupoid posiada zero, to ma je tylko jedno.
Przykłady Najlepiej znanym przykładem elementu absorbującego w algebrze jest mnożenie, gdzie dowolna liczba pomnożona przez zero jest równa zero. Zero jest więc elementem absorbującym. W arytmetyce zmiennoprzecinkowej, według definicji standardu IEEE-754, istnieje wartość „NaN” (z ang. Not A Number; nieliczba). Jest ona elementem absorbującym każdej operacji; np.: x + NaN = NaN + x = NaN, x – NaN = NaN – x = NaN itd. Zbiór działań dwuargumentowych na zbiorze razem ze złożeniem relacji tworzy monoid z zerem, gdzie element zerowy jest relacją pustą (zbiorem pustym). Zbiór zamknięty gdzie jest również monoidem z zerem, w którym elementem absorbującym jest 0. Więcej przykładów: Zbiór Operacja Element absorbujący liczby rzeczywiste (mnożenie) 0 liczby całkowite największy wspólny dzielnik 1 macierze kwadratowe (mnożenie) macierz zerowa zbiory (część wspólna) (zbiór pusty) podzbiory zbioru (suma) logika Boole’a (koniunkcja) (fałsz) logika Boole’a (alternatywa) (prawda)
Przypisy
Bibliografia
M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, . Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications. Springer. .
Linki zewnętrzne na PlanetMath Absorbing element , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].
Kategoria:Teoria półgrup Kategoria:Algebraiczne własności elementów