Rozmaitość liniowa – zbiór punktów przestrzeni afinicznej rozpiętej nad przestrzenią wektorową zdefiniowany następująco
dla pewnego punktu i pewnej podprzestrzeni wektorowej Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 227, Definicja 12.8..
Punkt nazywany jest punktem początkowym rozmaitości liniowej, a podprzestrzeń wektorowa nazywana jest przestrzenią kierunkową rozmaitości.
Własności: Każdy punkt danej rozmaitości liniowej można przyjąć za jej punkt początkowyBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 227, Twierdzenie 12.7..
Przestrzeń kierunkowa danej rozmaitości jest wyznaczona jednoznacznie.
Wymiar rozmaitości Wymiarem rozmaitości nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej.
Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma wymiar to o rozmaitości mówi się Rozmaitość liniowa -wymiarowaBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 227..
Rozmaitość z przestrzenią kierunkową dla której nazywa się prostą, nazywa się płaszczyzną, nazywa się hiperpłaszczyzną.
Przykłady rozmaitości liniowych thumb|Proste równoległe
Przykłady rozmaitości liniowych: przestrzeń afiniczna: Przestrzeń afiniczna jest rozmaitością liniową, której przestrzeń kierunkową stanowi przestrzeń wektorowa, nad którą rozpięta jest przestrzeń afiniczna, a punktem początkowym – dowolny punkt tej przestrzeni afinicznejBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 227, Przykład 1).; rozmaitość zerowymiarowa: Jeśli to rozmaitość Zatem rozmaitość jest zerowymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednopunktowaBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 227, Przykład 2). proste równoległe: Niech będzie płaszczyzną kartezjańską. Rozpatrzmy przestrzeń afiniczną rozpiętą nad Niech będzie jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni liniowej Niech będzie punktem płaszczyzny Wtedy to prosta równoległa do prostej gdzie to początek układu współrzędnychBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 228, Przykład 3). (patrz: rysunek obok).
Rozmaitości liniowe a przestrzenie afiniczne Lemat Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 228, Twierdzenie 12.8.
Dowód lematu Jeśli to Zatem i istnieje taki wektor dla którego Stąd wynika, że Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 228, Twierdzenie 12.8 – Dowód..
Twierdzenie Rozmaitość liniowa przestrzeni afinicznej rozpiętej nad przestrzenią wektorową jest przestrzenią afiniczną związaną z przestrzenią liniową Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 228, Twierdzenie 12.9..
Dowód twierdzenia Jeśli to Stąd:
Rozważmy funkcję taką, że:
Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność: Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 228, Twierdzenie 12.9 – Dowód..
Aby zakończyć dowód, wystarczy sprawdzić, czy funkcja spełnia aksjomatykę przestrzeni afinicznej.
Rzeczywiście, korzystając z tego, że dostaniemy
co oznacza, że spełnia I aksjomat przestrzeni afinicznej.
Z kolei jeśli to na mocy lematu otrzymujemy A stąd
Czyli funkcja spełnia III aksjomat przestrzeni afinicznej.
Równoległość rozmaitości Dwie rozmaitości liniowe danej przestrzeni afinicznej nazywa się równoległymi, jeśli mają tę samą przestrzeń kierunkowąBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 228, Definicja 12.9..
Relacja równoległości jest relacją równoważności.
Każde dwie rozmaitości równoległe są równe lub rozłączneBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 228, Twierdzenie 12.10..
W niektórych źródłachNp. R.I. Tyszkiewicz, A.S. Fiedienko, Liniejnaja ałgiebra i analiticzieskaja gieometrija, Minsk 1976. dodatkowo żąda się, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych. Tak rozumiana równoległość nie będzie jednak równoważnością, a każde dwie rozmaitości równoległe będą rozłączne.
Uwaga Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicjęNp. Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową (Jefimow, Rozendorn).:
Rozmaitość liniowa jest równoległa do rozmaitości liniowej gdy jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej tzn. gdy
Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyznyBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 228, Twierdzenie 12.10 (1)..
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia, E. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, wyd. II, Warszawa 1976..
W niektórych źródłachK. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, wyd. V, Warszawa 1976. tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się równoległością, a zdefiniowaną wyżej ścisłą równoległością.
Przypisy
Kategoria:Geometria afiniczna Kategoria:Przestrzenie liniowe