Rozkład Dirichleta – rodzina wielowymiarowych ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa, sparametryzowana z wykorzystaniem K-elementowego wektora dodatnich liczb rzeczywistych. Stanowi uogólnienie rozkładu beta dla zmiennej wielowymiarowej (wektora losowego).
Rozkład Dirichleta jest często wykorzystywany w statystyce bayesowskiej jako rozkład aprioryczny i faktycznie rozkład Dirichleta jest rozkładem sprzężonym rozkładu wielopunktowego i rozkładu wielomianowego. W efekcie funkcja rozkładu zwraca przekonanie, że prawdopodobieństwo możliwych zdarzeń losowych wynosi biorąc pod uwagę, że każde zdarzenie zostało zaobserwowane razy.
Wielowymiarowym uogólnieniem rozkładu Dirichleta jest proces Dirichleta.
Definicja formalna thumb|250px|Wykres ilustruje jak zmienia się logarytm funkcji rozkładu kiedy i zmieniany jest wektor od (0,3, 0,3, 0,3) do (2,0, 2,0, 2,0), zachowując wszystkie równe sobie nawzajem.
Rozkład Dirichleta rzędu z parametrami ma funkcję rozkładu prawdopodobieństwa w mierze Lebesgue’a dla przestrzeni euklidesowej określoną zależnością:
na otwartym zbiorze -wymiarowego sympleksu określonego jako:
oraz zero poza.
Stałą normalizującą jest wielomianowa funkcja B, którą można wyrazić w zależności od funkcji gamma:
Nośnik Nośnikiem rozkładu Dirichleta jest zbiór -wymiarowych wektorów określonych liczbami rzeczywistymi w zakresie (0,1), tak więc co znaczy, że suma wszystkich składowych jest 1. Mogą być one przedstawiane jako prawdopodobieństwa -wymiarowego zdarzenia. Należy zauważyć, iż w praktyce zbiór punktów w nośnika dla -wymiarowego rozkładu Dirichleta jest zamkniętym zbiorem -sympleksów, znajdujących się w przestrzeni -wymiarowej. Przykładowo dla jest to trójkąt równoboczny zawarty w trójwymiarowej przestrzeni z wierzchołkami (1;0;0), (0;1;0) oraz (0;0;1), „dotykający” każdej z osi w odległości 1 od początku układu współrzędnych.
Zobacz też rozkład dwumianowy rozkład normalny
Linki zewnętrzne „Statystyka w ujęciu Bayesowskim” na UPGOW Niemiro, W. „Symulacje stochastyczne i metody Monte Carlo”, skrypt dla studentów MIMUW
Kategoria:Rozkłady ciągłe