Kryterium Dirichleta – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych udowodnione przez Petera Gustawa Dirichleta. Kryterium to może być postrzegane jako szczególny przypadek kryterium Dirichleta zbieżności szeregów funkcyjnych.
Kryterium Niech będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli ciąg sum częściowych
jest ograniczony, jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do 0,
to szereg
jest zbieżny [dostęp 2025-07-15]..
Dowód Niech oznacza ciąg sum częściowych ciągu tj.
Z ograniczności ciągu wynika istnienie takiej liczby że dla każdego
Stąd, dla dowolnych liczb naturalnych zachodzi
Stosując przekształcenie Abela, otrzymujemy:
Nakładając na obie strony wartość bezwzględną oraz uwzględniając i monotoniczność ciągu dostajemy
Zatem
Niech Na mocy założenia o zbieżności ciągu istnieje takie że dla każdego
Ponieważ powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdego szereg
spełnia warunek Cauchy’ego.
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Dirichlet criterion (convergence of series) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].
Dirichleta zbieżności szeregów liczbowych