Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa – pierwszy przykład przestrzeni Banacha, która nie jest WCG, ale jej przestrzeń sprzężona jest WCG. Nazwa przestrzeni pochodzi od nazwisk W.B. Johnsona i J. Lindenstrussa, którzy podali jej konstrukcję w 1974W.B. Johnson and J. Lindenstrauss, Some remarks on weakly compactly generated Banach spaces, „Israel J. Math.” 17 (1974), s. 219–230..

Konstrukcja Niech będzie rodziną mocy continuum złożoną z podzbiorów zbioru liczb naturalnych o tej własności, że dla dowolnych dwóch różnych część wspólna jest skończona. Niech będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni generowaną przez podprzestrzeń c0 oraz rodzinę funkcji charakterystycznych zbiorów z rodziny Każdy element przestrzeni ma zatem jednoznaczne przedstawienie w postaci skończonej sumy

dla pewnych zbiorów oraz skalarów Wzór

określa normę w przestrzeni Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa to uzupełnienie przestrzeni unormowanej Powyższa definicja zależy od wyboru rodziny jednak niezależenie od doboru przestrzeń nie będzie WCG w przeciwieństwie do przestrzeni sprzężonej Rzeczywiście, przestrzeń jest (izometryczna z) podprzestrzenią Niech będzie dany wzorem . Wówczas

Ponieważ każde dwa zbiory mają skończoną część wspólną, istnieje taki element o skończonym nośniku (czyli ), że

czyli norma ilorazowa klasy abstrakcji w wynosi

Przechodząc do elementów w uzupełnieniu można wywnioskować, że

Przestrzeń sprzężona do JL2 Dla każdej liczby naturalnej funkcjonał określony wzorem

jest liniowy i ciągły. Ponadto, zbiór jest liniowo gęsty w czyli *-słaba topologia w jest ośrodkowa. Ośrodkowość w *-słabej topologii wynika również z faktu, że operator inkluzji jest ciągły oraz operator sprzężony jest ciągły względem *-słabych topologiiD. Yost, The Johnson-Lindenstrauss space, „Extracta Math”. 12 (1997), s. 185–192.. Istotnie, jest obrazem poprzez przestrzeni która jest ośrodkowa w *-słabej topologii (z twierdzenia Goldstine’a wynika, że jest *-słabo gęste w z ośrodkowości wynika ośrodkowość w *-słabej topologii). W szczególności, każdy zbiór słabo zwarty w jest ośrodkowy. Oznacza to, że nie jest WCG, gdyż jest nieośrodkowa ponieważ zawiera nieprzeliczalny zbiór dyskretny (na przykład, rodzina funkcji charakterystycznych zbiorów z rodziny ℬ jest nieprzeliczalnym zbiorem dyskretnym).

Istnieje izomorfizm

Rzeczywiście, niech

będzie krótkim ciągiem dokładnym, w którym jest operatorem inkluzji oraz jest przektszałceniem ilorazowym na Ciąg dualny

jest również dokładny. Ponieważ jest projektywną przestrzenią Banacha, ciąg ten się rozszczepia, tzn. zachodzi wzór . Przestrzeń jako suma dwóch przestrzeni WCG (przestrzeń ośrodkowej i przestrzeni refleksywnej), jest WCG.

Przypisy

Bibliografia J.M.F. Castillo, M. González, Three-Space Problems in Banach Space Theory, Lecture Notes in Math., vol. 1667, Springer, Berlin (1997).

Kategoria:Przestrzenie Banacha