Kiełek funkcji gładkiej w punkcie – klasa abstrakcji funkcji w zbiorze funkcji gładkich (nieskończenie wiele razy różniczkowalnych) określonych w otoczeniach punktu w relacji równoważności, którą spełniają dwie tożsamościowo równe w pewnym otoczeniu tego punktu funkcje.
Definicja Niech będzie parazwartą rozmaitością klasy
Dla punktu niech oznacza rodzinę wszystkich funkcji gładkich określonych w otoczeniach punktu (mogą być to różne otoczenia dla różnych funkcji).
Niech będzie relacją równoważności określoną następująco:
Dla funkcji gładkich zachodzi relacja wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie punktu , że dla każdego punktu funkcje są tożsamościowo równe, to znaczy .
Zbiór funkcji gładkich tożsamych z funkcją f w otoczeniu punktu m nazywamy kiełkami funkcji gładkiej w punkcie .
Znaczenie Kiełki mają podobne własności jak funkcje. Szczególnie lokalne własności funkcji i kiełków są podobne. Z tego powodu kiełki są używane do badania lokalnych własności funkcji.
Uwagi Jeśli to bo z ciągłości obu funkcji wynika istnienie takiego zbioru otwartego że dla każdego zachodzi nierówność W zbiorze można określić topologię. Jej bazą są zbiory gdzie jest reprezentantem elementu a zbiór jest podzbiorem otwartym rozmaitości . Przestrzeń określona powyżej nie jest przestrzenią Hausdorffa. Jeśli i jednocześnie to Wtedy dla każdych dwóch zbiorów otwartych bowiem istnieje taki punkt że czyli W analizie rozpatruje się także kiełki funkcji klasy (o ciągłej k-tej pochodnej), funkcji analitycznych, funkcji holomorficznych lub form różniczkowych. Przestrzeń toologiczna wraz z rozmaitością rzutowaniem tworzy snop funkcji gładkich na rozmaitości co oznacza, że rzutowanie to jest lokalnym homeomorfizmem. Można je składać i różniczkować. W szczególności kiełki można rozpatrywać dla funkcji lub dla funkcji holomorficznych na obszarach w przestrzeni lub , gdzie mają zastosowanie w badaniu funkcji analitycznych i powierzchni Riemanna. W zbiorze kiełków funkcji gładkich można określić w naturalny sposób strukturę pierścienia. Nazywany on jest pierścieniem kiełków w punkcie klasy .
Przypisy
Kategoria:Analiza matematyczna