Dodawanie – wspólna nazwa różnych działań matematycznych, zdefiniowanych na różnych zbiorach i klasach, m.in. tych liczbowych, ale też dla wektorów, niektórych funkcji i części innych zbiorów.
Dodawane obiekty to składniki, a wynik dodawania to suma. Działanie to zwykle oznacza się plusem: Dodawanie zalicza się do działań arytmetycznych i jest najprostszym z nich, definiującym pozostałe.
Dodawanie liczb Dodawanie pisemne liczb naturalnych W niektórych przypadkach dodawanie w pamięci jest trudne. Można tę operację uprościć, wykorzystując metodę dodawania pisemnego, która pozwala obliczyć sumę, wykonując w pamięci wyłącznie dodawanie liczb jednocyfrowych.
Poniżej podany jest przykład obliczenia sumy dwóch, trzycyfrowych liczb: i Drugą liczbę zapisujemy pod pierwszą, tak by cyfry zostały zapisane w kolumnach. Zapisując liczby, należy je wyrównać do prawej, czyli zapisać jedności nad jednościami, dziesiątki nad dziesiątkami itd. Pod drugą liczbą narysuje się linię:
Dodawanie rozpoczynamy od prawej kolumny zawierającej cyfry jedności obu liczb. Cyfrą jedności jest cyfrą jedności jest Dodajemy te dwie liczby jednocyfrowe, a ostatnią w wyniku zapisujemy pod kreską. więc na pozycji jedności pod kreską piszemy
Przechodzimy z dodawaniem do następnej kolumny, gdzie dodajemy do siebie liczby jednocyfrowe odpowiadające cyfrom dziesiątek. Cyfrą dziesiątek jest cyfrą dziesiątek jest piszemy pod kreską na kolejnym od prawej miejscu, a przenosimy do kolumny setek:
Pozostała kolumna setek: dodajemy z trzeciej kolumny otrzymując piszemy w kolumnie setek pod kreską:
otrzymując wynik
Dodając pisemnie wiele liczb („podliczanie słupków”), wygodnie jest dodać osobno jednostki, dziesiątki, setki itd., napisać wyniki (odpowiednio przesunięte) jeden pod drugim i ponownie zsumować. Pozwala to, w przypadku pomyłki, powtarzać tylko część obliczeń:
Uwaga: Liczby można dodawać pisemnie tylko w systemach pozycyjnych.
Dodawanie liczb całkowitych Możliwe są trzy przypadki, w zależności od znaku dodawanych liczb: Jeśli obydwie są dodatnie, dodajemy je tak jak liczby naturalne powyżej. Jeśli obydwie są ujemne i to należy dodać ich wartości bezwzględne i zmienić znak: Jeśli jedna liczba jest dodatnia a druga ujemna to dodawanie sprowadza się do odejmowania ich wartości bezwzględnych: Aby obliczyć gdy oblicza się i bierze otrzymany wynik ze znakiem „minus”, czyli: Jeśli jedna z liczb jest zerem, suma jest równa drugiemu składnikowi.
Dodawanie ułamków Dodawanie ułamków polega na dodaniu dwóch lub więcej wymiernych liczb niecałkowitych.
Przed dodaniem ułamków zwykłych musimy określić czy ich mianowniki są jednakowe gdzie
Jeżeli mianowniki są jednakowe, wówczas dodajemy liczniki ułamków, a mianownik pozostawiamy bez zmian
Np.
Aby dodać ułamki liczb wymiernych o różnych mianownikach należy je sprowadzić do wspólnego mianownika, znajdując najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników. Oznacza to również pomnożenie licznika ułamka przez tę wielokrotność.
Np.
Można też wykorzystać fakt, że sprowadzenie do wspólnego mianownika można wykonać, mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego. Dodawanie ułamków sprowadza się wtedy do wzoru:
Np.
W przypadku dodawania pisemnego ułamków dziesiętnych należy przesunąć dodawane liczby tak, aby przecinek dziesiętny był w tym samym miejscu:
Definicja formalna Liczby naturalne na ogół definiuje się na jeden z dwóch sposobów: przez użycie liczb kardynalnych lub przez aksjomatykę Peana (zob. aksjomaty i konstrukcje liczb). W pierwszym przypadku dodawanie liczb naturalnych to nic innego jak dodawanie liczb kardynalnych, a w drugim dodawanie definiuje się indukcyjnie:
gdzie jest następnikiem liczby
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left" !Szczegółowy przykład indukcyjnej definicji dodawania
Będziemy chcieli zdefiniowac dodawanie jako funkcję taką że . Formalnie taka funkcja ma postać następującej trójki: , gdzie to wykres tej funkcji. Punktem z wykresu tej funkcji jest para która zawiera informację o składnikach i wyniku . Niemniej taki zapis jest niepoprawny gdyż definicja wewnątrz odwołuje się do samej siebie (użyto czyli znaku po lewej i prawej stronie równości).
Skonstruujumy zatem wykres tej funkcji inaczej. Najpierw skonstuujmy wykres dla wszystkich liczb naturalnych dla których dodajemy zero (czyli nic się nie zmienia więc nie musimy używać znaku w jego definiji):
Następnie, korzystając z definicji von Neumanna liczb naturalnych, gdzie możemy użyć następnika zdefiniowanego jako oraz , możemy na bazie zdefiniować wykres dla wszystkich liczb naturalnych dla których dodano 1, ale musimy zamiast działania (które właśnie definiujemy) użyć następnika S:
podobnie możemy zrobić dla , oraz itd.
... itd. W ogólności możemy utworzyć formłę indykcyjną (bazującą na poprzednich zbiorach) która dla dowolnej liczby na bazie zbioru (opisującego dodawanie liczby b do każdej liczby naturalnej) utworzy zbiór (opisujący dodawanie dla każdej liczby naturalnej):
W ten sposób zbiory opisują wynik dodawania każdej pary liczb naturalnych, przenoszac wszystkie elementy tych zbiory do jednego zbioru, otrzymamy ostateczny wykres dodawania wszystkich liczb naturalnych, a pełną definicję formalną funkcji możemy wówczas zapisać tak
Działanie dodawania można krok po kroku definiować dla każdego rodzaju liczb: dodawanie dwóch liczb całkowitych i gdzie określone jest wzorem
dodawanie dwóch liczb wymiernych określone jest wzorem (w ogólności wzór ten jest definicją dodawania w dowolnym ciele ułamków); dodawanie dwóch liczb rzeczywistych jest określone następująco: jeżeli jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych zbieżnym do a jest zbieżnym do to ciąg jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do dodawanie dwóch liczb rzeczywistych i określa się następująco: W zbiorze ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych wprowadza się relację równoważności: gdy ciąg jest zbieżny do zera. Niech będą ciągami Cauchy’ego liczb wymiernych, wówczas ciąg także jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych. Dowodzi się, że niezależnie od wyboru ciągów zachodzi Klasa abstrakcji reprezentanta jest sumą liczb utożsamianych z klasami reprezentantów dodawanie dwóch liczb zespolonych określone jest wzorem
dodawanie dwóch kwaternionów określone jest wzorem
Własności sumy wynikające z własności składników {| class="wikitable" ! Składnik ! Składnik ! Suma |- | parzysty || parzysty || parzysta |- | nieparzysty || nieparzysty || parzysta |- | parzysty || nieparzysty || nieparzysta |- | naturalny || naturalny || naturalna |- | całkowity || całkowity || całkowita |- | całkowity || niecałkowity || niecałkowita |- | wymierny || wymierny || wymierna |- | wymierny || niewymierny || niewymierna |- | dodatni || dodatni || dodatnia |- | ujemny || ujemny || ujemna |- | algebraiczny || algebraiczny || algebraiczna |- | algebraiczny || przestępny || przestępna |- | rzeczywisty || rzeczywisty || rzeczywista |- | zespolony || zespolony || zespolona
Zapis oraz liczba składników
Dodawanie zwyczajowo oznacza się symbolem na przykład:
Zwykle jest ono rozpatrywane jako działanie dwuargumentowe, można jednak dodawać też mniej niż dwie liczby: sumą zawierającą jeden składnik jest sumą zawierającą zero składników jest liczba zero, ponieważ liczba zero jest elementem neutralnym dodawania.
Sumę można rozumieć jako lub Obydwa te wyrażenia są równoważne, gdyż dodawanie jest łączne.
Jeżeli sumujemy wiele składników, wygodnie jest stosować uproszczone zapisy, takie jak wielokropki:
Nieskończone sumy liczb bądź funkcji są nazywane szeregami, np. jest szczególnym przypadkiem szeregu geometrycznego. Są one ważnym przedmiotem badań analizy matematycznej. Niektóre typowe prawa dodawania nie są tu spełnione, np. zmiana kolejności składników szeregu nieskończonego może zmienić jego sumę.
Gdy rozważa się skomplikowane sumy, stosuje się także zapis z grecką dużą literą sigma:
czytany „suma składników postaci rozciągnięta na wszystkie wskaźniki od do ”.
Analogicznie można zapisywać szeregi:
Suma nie musi rozpoczynać się od 1, może rozpoczynać się od dowolnej całkowitej liczby (a także od przy zapisywaniu szeregów „od końca”).
Notację sigma można uogólnić, gdy dany jest dowolny warunek logiczny dotyczący wskaźnika, np.: jest sumą składników postaci dla każdego całkowitego w pewnym przedziale, jest sumą składników postaci dla każdego (niekoniecznie całkowitego), jest sumą wszystkich dla każdego całkowitego dzielącego gdzie jest dowolną relacją zależną od
Możliwe jest także używanie sigmy do zapisywania sum podwójnych.
Analogiczne zapisy można stosować przy mnożeniu. Zamiast dużej litery sigma, stosowana jest wtedy duża litera pi:
Przybliżanie całkami oznaczonymi Dla dowolnej rosnącej funkcji zachodzi następująca zależność między całkami a sumami:
Wzory sumacyjne
(suma ciągu arytmetycznego)
gdzie jest k-tą liczbą Bernoulliego. (patrz szereg geometryczny) (szczególny przypadek poprzedniego wzoru dla m = 0)
(patrz dwumian Newtona)
(prawo rozdzielności dla iloczynu sum, prawdziwe dla sum skończonych i szeregów bezwzględnie zbieżnych)
(zamiana zmiennych) (zamiana kolejności sumowania) (manipulacja dziedziną)
Suma funkcji Sumę funkcji gdzie jest pewnym zbiorem ze zdefiniowanym działaniem dodawania (np. grupą czy, w szczególności, przestrzenią liniową) definiuje się jako dla wszystkich
Przykłady użycia: Traktując macierze jako funkcje, można określić działanie dodawania macierzy. Aby dodać dwie macierze o tych samych wymiarach, wystarczy dodać ich odpowiednie elementy. Traktując ciągi jako funkcje, można określić dodawanie ciągów. Traktując wielomiany (właściwie funkcje wielomianowe) jako funkcje rzeczywiste otrzymujemy analogiczną definicję dodawania, używaną w analizie matematycznej. Traktując wielomiany jako ciągi współczynników (np. zapisując jako ), otrzymuje się definicję sumy wielomianów używaną w algebrze abstrakcyjnej; aby dodać dwa wielomiany, należy dodać ich współczynniki. Definicję tę rozszerza się w oczywisty sposób na pierścień szeregów formalnych.
Dodawanie modulo Działanie dodawania można określić w pierścieniu Zn.
Dodawanie modulo polega na obliczaniu reszty z dzielenia sumy liczb. Przykład: w zbiorze zachodzi:
Dodawanie modulo można też określić dla liczb rzeczywistych, np. w geometrii suma dwóch kątów skierowanych ma miarę równą sumie ich miar modulo
Dodawanie odcinków Dodawanie odcinków o długościach i polega na wykreśleniu odcinka o długości
Dodawanie wektorów
Dodawanie wektorów polega na dodawaniu ich współrzędnych. Wektory można dodawać algebraicznie lub geometrycznie (używając reguły trójkąta lub reguły równoległoboku).
Gdy jest punktem oraz jest wektorem to sumę należy rozumieć jako translację punktu o wektor Wówczas składniki sumy nie są sobie równoważne ( jest wektorem i odpowiada przemieszczeniu, a jest punktem) i nazywa się dodajną, a – dodajnikiem. Nomenklatura ta jest jednak rzadko spotykana.
Dodawanie liczb kardynalnych
Działanie dodawania można zdefiniować dla dowolnych liczb kardynalnych, używając sumy (rozłącznych) zbiorów o mocy, której odpowiadają sumowane liczby.
Dodawanie jako działanie w strukturze algebraicznej Zwykle określenie to jest używane do określenia dodawania liczb lub funkcji dających w wyniku liczby, takich jak wielomiany.
Istnieje wiele innych struktur algebraicznych, w których określa się dodawanie. Jest to działanie dwuargumentowe, które spełnia aksjomaty przyjętej struktury. Gdy rozważa się struktury algebraiczne (pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe) to jest ono dowolnym, abstrakcyjnym działaniem spełniającym pewne założenia, takie jak łączność czy istnienie elementu neutralnego. Czasem dla odróżnienia od zwykłego dodawania liczb stosuje się wtedy inny, podobny znak, np.