Interpolacja Hermite’a – interpolacja umożliwiająca znalezienie wielomianu przybliżającego według wartości
na danych węzłach oraz na wartościach pochodnych na wybranych węzłach
Węzeł zadany bez pochodnej jest węzłem pojedynczym, a węzeł z danymi pochodnymi jest węzłem -krotnym. thumb|400px|Funkcja (czarny) i jej wielomian interpolacyjny (czerwony) obliczony na podstawie 5 danych węzłów podwójnych w przedziale wygenerowany dzięki programowi Mathematica
Algorytm Algorytm jest podobny jak przy interpolacji Newtona. Kolumnę wypełnia się wszystkimi wartościami węzłów (jeżeli węzeł jest -krotny, to umieszczamy go w tabeli razy).
{| class="wikitable" style="text-align:center"
Następnie dopisuje się do każdej kolumny kolejne różnice dzielone, z tym wyjątkiem, że przy węzłach -krotnych, gdzie, de facto, nie można obliczyć różnicy dzielonej, podstawia się wartości kolejnych pochodnych na węzłach podzielone przez silnię ze stopnia pochodnej. (W tabeli przedstawiony jest -krotny węzeł ). {| class="wikitable" style="text-align:center"
Tabelę uzupełnia się do końca jak przy interpolacji Newtona, uznając ciągłe pochodne na węzłach wielokrotnych jako różnice dzielone rzędu drugiego.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
Definiując jako wartości na przekątnej, gdzie to suma krotności węzłów, otrzymuje się wielomian:
gdzie przy czym każdy -krotny węzeł występuje razy.
Przykład Należy znaleźć wielomian interpolacyjny, przybliżający funkcję o zadanych węzłach dwukrotnych:
Zapisuje się wartości w tabeli: {| class="wikitable" style="text-align:center"
Następnie w miejsce powtarzającego się węzła wstawia się wartości pochodnej, a w pozostałe miejsca (w tym przypadku jedno) wstawia się odpowiednią różnicę dzieloną:
{| class="wikitable" style="text-align:center" |- align="center"
| –
|-"
Następnie uzupełnia się do końca tabelę: {| class="wikitable" style="text-align:center"
| – | – | –
| – | –
| –
Zatem otrzymuje się wielomian:
Łatwo sprawdzić, że interpoluje on dane punkty:
Zobacz też interpolacja wielomianowa postać Lagrange’a wielomianu postać Newtona wielomianu
Bibliografia
Kategoria:Interpolacja Kategoria:Wielomiany Kategoria:Analiza rzeczywista