Miara martyngałowa (lub miara obojętna na ryzyko) – jedno z podstawowych pojęć z zakresu matematyki finansowej. Używa się go do wyceny instrumentów bazowych oraz pochodnych na rynkach zupełnych.
Definicja Niech oznacza wartość instrumentu dyskontowego w momencie a cenę instrumentu o wypłacie zapadającego w chwili Miarą martyngałową nazywamy taką miarę probabilistyczną, że: (miara jest równoważna rzeczywistej mierze),
Dla rynków skończonych zachodzenie powyższego warunku dla procesów cen instrumentów bazowych jest równoważna jego prawdziwości dla instrumentów pochodnych.
Przykłady Model dwumianowy Dla jednookresowego modelu CRR o własności gdzie przyjmuje wartości oraz a miara martyngałowa jest zdefiniowana w następujący sposób:
Warunkiem koniecznym dla braku istnienia arbitrażu jest ograniczenie na stopę procentową
Dla -okresowego modelu CRR miara martyngałowa przyjmuje następującą postać:
Model Blacka-Scholesa W klasycznym modelu Blacka-Scholesa miarą martyngałową określa równanie:
gdzie: – współczynnik dryfu, – współczynnik zmienności, – bezryzykowna stopa procentowa.
Proces
jest procesem Wienera w mierze martyngałowej.
Wzór ten można uzyskać po zastosowaniu twierdzenia Girsanowa.
Bibliografia
Kategoria:Matematyka finansowa